Найти неопределенные интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Задание относится к математическому анализу, а именно к интегралам и, в частности, к нахождению неопределенных интегралов. Давайте решим данный интеграл: \[ \int \frac{(x+1)dx}{x^2 - 2x + 2} \]

Разложение квадратного трехчлена

Сначала попытаемся упростить знаменатель \( x^2 - 2x + 2 \). Заметим, что это квадратный трехчлен. Найдем его корни или упростим выражение: \[ x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 \] Таким образом, интеграл можно переписать: \[ \int \frac{(x+1)dx}{(x-1)^2 + 1} \]

Замена переменной

Теперь сделаем замену переменной \( u = x - 1 \), тогда \( du = dx \) и \( x = u + 1 \). Подставим это в интеграл: \[ \int \frac{((u+1) + 1)du}{u^2 + 1} = \int \frac{(u+2)du}{u^2 + 1} \]

Разделение интеграла

Теперь разделим интеграл на два отдельных интеграла: \[ \int \frac{u \, du}{u^2 + 1} + \int \frac{2 \, du}{u^2 + 1} \]

Интегрирование каждого отдельно

Первый интеграл

Интеграл \(\int \frac{u \, du}{u^2 + 1}\) можно интегрировать прямой заменой \((u^2+1 = t)\): \[ \int \frac{u \, du}{u^2 + 1} = \int \frac{1}{2} d(\ln(u^2+1)) = \frac{1}{2} \ln|u^2 + 1| + C_1 \]

Второй интеграл

Интеграл \(\int \frac{2 \, du}{u^2 + 1}\) интегрируется напрямую: \[ \int \frac{2 \, du}{u^2 + 1} = 2 \arctan(u) + C_2 \]

Суммирование результатов

Суммируем оба интеграла и заменим обратно \( u = x - 1 \): \[ \frac{1}{2} \ln((x-1)^2 + 1) + 2 \arctan(x-1) + C \] Где \( C = C_1 + C_2 \) - произвольная постоянная.

Итоговое решение

Итак, искомый неопределенный интеграл: \[ \int \frac{(x+1)dx}{x^2 - 2x + 2} = \frac{1}{2} \ln((x-1)^2 + 1) + 2 \arctan(x-1) + C \]