Найти неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Неопределённые интегралы (рациональные функции)

Нам нужно найти неопределённый интеграл:

 \int \frac{x^3 + 2}{x^2 - 7x + 6} \, dx 

Шаг 1: Деление многочленов

Степень числителя выше степени знаменателя, значит, сначала делим многочлены:

Разделим x^3 + 2 на x^2 - 7x + 6.

Выполним деление столбиком:

1. x^3 ÷ x^2 = x
2. Умножим: x(x^2 - 7x + 6) = x^3 - 7x^2 + 6x
3. Вычтем:
   (x^3 + 2) - (x^3 - 7x^2 + 6x) = 7x^2 - 6x + 2

Теперь делим 7x^2 - 6x + 2 на x^2 - 7x + 6:

4. 7x^2 ÷ x^2 = 7
5. Умножим: 7(x^2 - 7x + 6) = 7x^2 - 49x + 42
6. Вычтем:
   (7x^2 - 6x + 2) - (7x^2 - 49x + 42) = 43x - 40

Итак, результат деления:

 \frac{x^3 + 2}{x^2 - 7x + 6} = x + 7 + \frac{43x - 40}{x^2 - 7x + 6} 

Шаг 2: Разложим знаменатель на множители

 x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) 

Теперь разложим дробь \frac{43x - 40}{(x - 1)(x - 6)} на простейшие:

Пусть:  \frac{43x - 40}{(x - 1)(x - 6)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 6} 

Умножим обе части на (x - 1)(x - 6):

 43x - 40 = A(x - 6) + B(x - 1) 

Раскроем скобки:

 43x - 40 = Ax - 6A + Bx - B = (A + B)x + (-6A - B) 

Приравниваем коэффициенты:

• A + B = 43
• -6A - B = -40

Решим систему:

1. A + B = 43
2. -6A - B = -40

Сложим уравнения:

 (A + B) + (-6A - B) = 43 - 40 \Rightarrow -5A = 3 \Rightarrow A = -\frac{3}{5} 

Подставим в первое:

 -\frac{3}{5} + B = 43 \Rightarrow B = 43 + \frac{3}{5} = \frac{218}{5} 

Шаг 3: Интегрируем

 \int \frac{x^3 + 2}{x^2 - 7x + 6} dx = \int \left(x + 7 + \frac{-\frac{3}{5}}{x - 1} + \frac{218}{5(x - 6)} \right) dx 

Разделим и проинтегрируем:

 \int x \, dx + \int 7 \, dx - \frac{3}{5} \int \frac{1}{x - 1} \, dx + \frac{218}{5} \int \frac{1}{x - 6} \, dx 

Результат:

 \frac{x^2}{2} + 7x - \frac{3}{5} \ln|x - 1| + \frac{218}{5} \ln|x - 6| + C 

Проверка: Дифференцирование результата

Вычислим производную:

 \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2} + 7x - \frac{3}{5} \ln|x - 1| + \frac{218}{5} \ln|x - 6| \right) 

Получим:

 x + 7 - \frac{3}{5(x - 1)} + \frac{218}{5(x - 6)} 

Приведём к общему знаменателю:

 x + 7 + \frac{-3(x - 6) + 218(x - 1)}{5(x - 1)(x - 6)} = x + 7 + \frac{43x - 40}{(x - 1)(x - 6)} 

А это и есть исходная функция.

Ответ:

 \int \frac{x^3 + 2}{x^2 - 7x + 6} \, dx = \frac{x^2}{2} + 7x - \frac{3}{5} \ln|x - 1| + \frac{218}{5} \ln|x - 6| + C