Найти наименьшее значение методом множителей Лагранжа

Задание относится к предмету "Математика", а раздел "Оптимизация."

Для решения этой задачи будем использовать метод множителей Лагранжа. Нам необходимо найти наименьшее значение функции \(f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2\), если выполняется условие \(2x + 3y + 4z = 1\).

1. Функция и условие: \(f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2\)
   Условие: \(g(x, y, z) = 2x + 3y + 4z - 1 = 0\)
2. Формируем Лагранжиан: \( \mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) - \lambda \cdot g(x, y, z) \)
   \(\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = x^2 + y^2 + z^2 - \lambda (2x + 3y + 4z - 1) \)
3. Найдем частные производные Лагранжиана по \(x\), \(y\), \(z\) и \(\lambda\):
   \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x - 2\lambda = 0 \Rightarrow x = \lambda\)
   \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y - 3\lambda = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}\lambda\)
   \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 2z - 4\lambda = 0 \Rightarrow z = 2\lambda\)
   \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(2x + 3y + 4z - 1) = 0\)
4. Подставим значения \(x\), \(y\), \(z\) в условие:
   \(2(\lambda) + 3\left(\frac{3}{2}\lambda\right) + 4(2\lambda) = 1\)
   \(2\lambda + \frac{9}{2}\lambda + 8\lambda = 1\)
   \(2\lambda + 4.5\lambda + 8\lambda = 1\)
   \(14.5\lambda = 1\)
   \(\lambda = \frac{1}{14.5} = \frac{2}{29}\)
5. Находим значения \(x\), \(y\), \(z\):
   \(x = \lambda = \frac{2}{29}\)
   \(y = \frac{3}{2}\lambda = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{29} = \frac{3}{29}\)
   \(z = 2\lambda = 2 \cdot \frac{2}{29} = \frac{4}{29}\)
6. Подставим найденные значения \(x\), \(y\) и \(z\) в функцию \(f(x, y, z)\):
   \(f\left(\frac{2}{29}, \frac{3}{29}, \frac{4}{29}\right) = \left(\frac{2}{29}\right)^2 + \left(\frac{3}{29}\right)^2 + \left(\frac{4}{29}\right)^2\)
   \(= \frac{4}{841} + \frac{9}{841} + \frac{16}{841}\)
   \(= \frac{4 + 9 + 16}{841}\)
   \(= \frac{29}{841}\)
   \(= \frac{1}{29}\)
   Таким образом, наименьшее значение функции \(f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2\), удовлетворяющее условию \(2x + 3y + 4z = 1\), равно \(\frac{1}{29}\).