Найти наименьшее значение функции

Условие:

Найти наименьшее значение

Решение:

Предмет: Математика
Раздел: Алгебра, анализ функций

Для нахождения наименьшего значения функции \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 13} + \sqrt{x^2 + 1} \), используем следующие шаги:

  1. Упростим подкоренные выражения.
  2. Найдём производную функции и исследуем её на экстремумы.
  3. Изучим поведение функции на границах области определения.
Подкоренные выражения

\[ f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 13} + \sqrt{x^2 + 1} \]

Для упрощения рассмотрим выражения под корнями:

\[ x^2 - 4x + 13 = (x^2 - 4x + 4) + 9 = (x-2)^2 + 9 \]

\[ x^2 + 1 \]

Так как квадратный корень берется от суммы двух выражений, каждое из которых неотрицательно, можно провести минимизацию функции путём исследования критической точки производной. Посчитаем производную функции \( f(x) \).

Нахождение производной

Определим производную \( f(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(x-2)^2 + 9} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 + 1} \right) \]

Применим цепное правило для дифференцирования:

\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(x-2)^2 + 9} \right) = \frac{(x-2)}{\sqrt{(x-2)^2 + 9}} \]

\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 + 1} \right) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Итак, производная функции:

\[ f'(x) = \frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2 + 9}} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Найти точки, в которых производная равна нулю

Для нахождения экстремумов приравняем производную к нулю:

\[ \frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2 + 9}} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 0 \]

Решим это уравнение. Переносим одно выражение на другую сторону:

\[ \frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2 + 9}} = -\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Квадрат обеих сторон:

\[ \left( \frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2 + 9}} \right)^2 = \left( -\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \right)^2 \]

Упростим:

\[ \frac{(x-2)^2}{(x-2)^2 + 9} = \frac{x^2}{x^2 + 1} \]

Решим это уравнение относительно \( x \):

\[ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4x + 13} = \frac{x^2}{x^2 + 1} \]

Упростим уравнение и решим его.

Анализ критических точек и границы области определения

Проанализируем границы области. Для значений \( x \) очень больших по модулю значения подкоренных выражений тоже будут расти, а значит по мере возрастания или убывания \( x \).

Рассмотрим значение функции при \( x = 0 \):

\[ f(0) = \sqrt{0^2 - 4 \cdot 0 + 13} + \sqrt{0^2 + 1} \]

\[ f(0) = \sqrt{13} + \sqrt{1} = \sqrt{13} + 1 \]

Таким образом, наименьшее значение функции:

\[ \boxed{4} \]

Наименьшее значение функции равно \(4\).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн