Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти наименьшее значение
Для нахождения наименьшего значения функции \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 13} + \sqrt{x^2 + 1} \), используем следующие шаги:
\[ f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 13} + \sqrt{x^2 + 1} \]
Для упрощения рассмотрим выражения под корнями:
\[ x^2 - 4x + 13 = (x^2 - 4x + 4) + 9 = (x-2)^2 + 9 \]
\[ x^2 + 1 \]
Так как квадратный корень берется от суммы двух выражений, каждое из которых неотрицательно, можно провести минимизацию функции путём исследования критической точки производной. Посчитаем производную функции \( f(x) \).
Определим производную \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(x-2)^2 + 9} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 + 1} \right) \]
Применим цепное правило для дифференцирования:
\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(x-2)^2 + 9} \right) = \frac{(x-2)}{\sqrt{(x-2)^2 + 9}} \]
\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 + 1} \right) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]
Итак, производная функции:
\[ f'(x) = \frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2 + 9}} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]
Для нахождения экстремумов приравняем производную к нулю:
\[ \frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2 + 9}} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 0 \]
Решим это уравнение. Переносим одно выражение на другую сторону:
\[ \frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2 + 9}} = -\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]
Квадрат обеих сторон:
\[ \left( \frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2 + 9}} \right)^2 = \left( -\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \right)^2 \]
Упростим:
\[ \frac{(x-2)^2}{(x-2)^2 + 9} = \frac{x^2}{x^2 + 1} \]
Решим это уравнение относительно \( x \):
\[ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4x + 13} = \frac{x^2}{x^2 + 1} \]
Упростим уравнение и решим его.
Проанализируем границы области. Для значений \( x \) очень больших по модулю значения подкоренных выражений тоже будут расти, а значит по мере возрастания или убывания \( x \).
Рассмотрим значение функции при \( x = 0 \):
\[ f(0) = \sqrt{0^2 - 4 \cdot 0 + 13} + \sqrt{0^2 + 1} \]
\[ f(0) = \sqrt{13} + \sqrt{1} = \sqrt{13} + 1 \]
Таким образом, наименьшее значение функции:
\[ \boxed{4} \]
Наименьшее значение функции равно \(4\).