Найти наименьшее значение

Предмет: математика, раздел: производная (калькулус)

У нас есть функция: \[ y = \sqrt{x - 1} + 3 \sqrt{4 - x} \]

1. Область определения функции

Чтобы определить, при каких \(x\) функция определена, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

1. \(x - 1 \geq 0\), откуда: \[ x \geq 1 \]
2. \(4 - x \geq 0\), откуда: \[ x \leq 4 \]

Следовательно, область определения функции: \(x \in [1, 4]\).

2. Поиск наименьшего значения функции

Для этого найдем производную функции и найдем критические точки. Сначала найдем производную от обеих частей функции:

\[ y = \sqrt{x - 1} + 3 \sqrt{4 - x} \]

Производная от первой части \(\sqrt{x - 1}\):

\[ \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x - 1}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} \]

Производная от второй части \(3 \sqrt{4 - x}\):

\[ \frac{d}{dx}\left(3 \sqrt{4 - x}\right) = 3 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} = \frac{-3}{2\sqrt{4 - x}} \]

Теперь запишем общую производную:

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} - \frac{3}{2\sqrt{4 - x}} \]

3. Найдем критические точки

Чтобы найти критические точки, приравниваем производную к нулю:

\[ \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} - \frac{3}{2\sqrt{4 - x}} = 0 \]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ \frac{1}{\sqrt{x - 1}} = \frac{3}{\sqrt{4 - x}} \]

Возводим обе части в квадрат:

\[ \frac{1}{x - 1} = \frac{9}{4 - x} \]

Крест-накрест умножаем:

\[ (4 - x) = 9(x - 1) \]

Раскроем скобки:

\[ 4 - x = 9x - 9 \]

Переносим все в одну сторону:

\[ 4 + 9 = 9x + x \]

\[ 13 = 10x \]

\[ x = \frac{13}{10} = 1.3 \]

Это критическая точка в пределах допустимых значений (\([1, 4]\)).

4. Исследуем границы области

Функция у нас определена на отрезке \([1, 4]\). Проверим значения на границах и в критической точке:

• При \(x = 1\): \[ y = \sqrt{1 - 1} + 3\sqrt{4 - 1} = 3\sqrt{3} = 3 \cdot 1.732 = 5.196 \]
• При \(x = 4\): \[ y = \sqrt{4 - 1} + 3\sqrt{4 - 4} = \sqrt{3} = 1.732 \]
• При \(x = 1.3\): \[ y(1.3) = \sqrt{1.3 - 1} + 3 \cdot \sqrt{4 - 1.3} = \sqrt{0.3} + 3\sqrt{2.7} = 0.5477 + 4.914 = 5.4617 \]

5. Ответ

Наименьшее значение функции достигается при \(x = 4\), и его значение равно приблизительно \(1.732\).