Найти наименьшее и наибольшее значения функции

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функций

Задание: Найти наименьшее и наибольшее значения функции y = (3 - x)e^{-x} на отрезке [0; 5].

Решение:

1. Функция и область определения:
   Дана функция y = (3 - x)e^{-x}.
   Область определения функции: x \in [0; 5].

2. Нахождение критических точек:
   Для нахождения экстремумов функции найдем производную y'(x) и решим уравнение y'(x) = 0.

   Производная функции:
    y = (3 - x)e^{-x}, \quad y' = \frac{d}{dx}[(3 - x)e^{-x}]. 

   Применим правило произведения:
    y' = (3 - x)' \cdot e^{-x} + (3 - x) \cdot (e^{-x})'. 

   Вычислим производные:
    (3 - x)' = -1, \quad (e^{-x})' = -e^{-x}. 

   Тогда:
    y' = -e^{-x} + (3 - x)(-e^{-x}) = -e^{-x} - (3 - x)e^{-x}. 

   Вынесем -e^{-x} за скобки:
    y' = -e^{-x}(1 + 3 - x) = -e^{-x}(4 - x). 

   Уравнение y'(x) = 0:
    -e^{-x}(4 - x) = 0. 

   Так как e^{-x} \neq 0, то:
    4 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4. 

   Критическая точка: x = 4.

3. Значения функции на границах отрезка и в критической точке:
   Вычислим значения функции y = (3 - x)e^{-x} в точках x = 0, x = 4 и x = 5.

   • При x = 0:
      y(0) = (3 - 0)e^{0} = 3. 

   • При x = 4:
      y(4) = (3 - 4)e^{-4} = -1 \cdot e^{-4} \approx -0.0183. 

   • При x = 5:
      y(5) = (3 - 5)e^{-5} = -2 \cdot e^{-5} \approx -0.0135. 

4. Ответ:
   Наибольшее значение функции: y_{\text{max}} = 3 при x = 0.
   Наименьшее значение функции: y_{\text{min}} \approx -0.0183 при x = 4.