Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [-1;1]

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Исследование функции на экстремумы)

Формулировка задания

Найти наименьшее и наибольшее значение функции
y = x + 3\sqrt[3]{x}
на отрезке [-1;1].

Решение с подробными объяснениями

Шаг 1: Определение метода решения

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, используем следующий алгоритм:

1. Найти производную функции y'.
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее и наименьшее.

Шаг 2: Найдём производную функции

Функция дана как:
y = x + 3\sqrt[3]{x}.

Второе слагаемое можно записать в виде степени:
3\sqrt[3]{x} = 3x^{1/3}.

Теперь дифференцируем:

1. Производная от x равна 1.
2. Производная от 3x^{1/3} находится по формуле степенной функции:
   \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}.
   Подставляем n = 1/3:
   \frac{d}{dx} 3x^{1/3} = 3 \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = x^{-2/3} = \frac{1}{x^{2/3}}.

Таким образом, производная функции:
y' = 1 + \frac{1}{x^{2/3}}.

Шаг 3: Найдём критические точки

Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует.

Равняем производную к нулю:
1 + \frac{1}{x^{2/3}} = 0.

Переносим 1 вправо:
\frac{1}{x^{2/3}} = -1.

Но дробь \frac{1}{x^{2/3}} всегда положительна, а значит, уравнение не имеет решений.

Теперь проверим, где производная не существует.
Производная содержит \frac{1}{x^{2/3}}, которая не определена при x = 0.
Следовательно, x = 0 — критическая точка.

Шаг 4: Вычисляем значения функции

Найдем значения функции в концах отрезка и в критической точке.

1. В точке x = -1:
   y(-1) = -1 + 3\sqrt[3]{-1} = -1 + 3(-1) = -1 - 3 = -4.

2. В точке x = 1:
   y(1) = 1 + 3\sqrt[3]{1} = 1 + 3(1) = 1 + 3 = 4.

3. В критической точке x = 0:
   y(0) = 0 + 3\sqrt[3]{0} = 0 + 0 = 0.

Шаг 5: Определяем наибольшее и наименьшее значения

Сравниваем полученные значения:

• y(-1) = -4.
• y(0) = 0.
• y(1) = 4.

Наименьшее значение: -4 (достигается в x = -1).
Наибольшее значение: 4 (достигается в x = 1).

Ответ:

• Наименьшее значение: y_{\min} = -4 при x = -1.
• Наибольшее значение: y_{\max} = 4 при x = 1.