Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Функции нескольких переменных)

Задача:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( z \) при условии замкнутой области \( D \).

Дано:

Функция: \[ 2z = 4x^2 + 4xy - y^2 - 8y. \]

Приведем её к стандартному виду: \[ z = 2x^2 + 2xy - \frac{y^2}{2} - 4y. \]

Область \( D: \{0 \leq x \leq 1, 2x \leq y \leq 2\} \) является ограниченной и замкнутой.

Алгоритм решения:

1. Найти критические точки функции \( z(x,y) \) внутри области \( D \). Для этого вычисляются частные производные по \( x \) и \( y \) и приравниваются к нулю: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 0. \]
2. Исследовать границу области \( D \). Для этого нужно подставить уравнения границы области (например, \( y = 2x \) или \( y = 2 \)) в функцию \( z \) и найти экстремумы.
3. Сравнить значения функции в критических точках и на границах. Максимальное и минимальное значения среди найденных будут наибольшим и наименьшим значениями функции.

Шаг 1. Поиск критических точек.

Частные производные: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 4x + 2y = 0, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2x - y - 4 = 0. \]

1. Из первого уравнения: \[ 4x + 2y = 0 \implies 2x + y = 0 \implies y = -2x. \]
2. Подставим \( y = -2x \) во второе уравнение: \[ 2x - (-2x) - 4 = 0 \implies 2x + 2x - 4 = 0 \implies 4x = 4 \implies x = 1. \] Подставим \( x = 1 \) в \( y = -2x \): \[ y = -2 \cdot 1 = -2. \]

Критическая точка: \( (x, y) = (1, -2) \). Но эта точка не принадлежит области \( D \) (в области \( y \geq 2x \)), поэтому её не учитываем.

Шаг 2. Исследование границы области \( D \).

Область \( D \) задаётся следующими границами:

1. \( y = 2x \), где \( 0 \leq x \leq 1 \),
2. \( y = 2 \), где \( 0 \leq x \leq 1 \),
3. \( x = 0 \), где \( 2x \leq y \leq 2 \) (то есть \( y \in [0, 2] \)),
4. \( x = 1 \), где \( 2x \leq y \leq 2 \) (то есть \( y \in [2, 2] \)).

Граница 1: \( y = 2x \).

Подставим \( y = 2x \) в функцию: \[ z = 2x^2 + 2x(2x) - \frac{(2x)^2}{2} - 4(2x) = 2x^2 + 4x^2 - 2x^2 - 8x = 4x^2 - 8x. \]

Функция одной переменной: \[ z = 4x^2 - 8x. \]

Вычислим производную: \[ \frac{dz}{dx} = 8x - 8, \quad 8x - 8 = 0 \implies x = 1. \]

Так как по условию \( 0 \leq x \leq 1 \), проверяем значения функции на границах и в критической точке: \[ z(0) = 4(0)^2 - 8(0) = 0, \quad z(1) = 4(1)^2 - 8(1) = 4 - 8 = -4. \]

На границе \( y = 2x \): \( z_{\text{min}} = -4, \, z_{\text{max}} = 0 \).

Шаг 3. Сравнение значений.

Соберём все найденные значения:

• На \( y = 2x \): \( [-4, 0] \),
• На \( y = 2 \): \( [-10, -4] \),
• На \( x = 0 \): \( [-10, 0] \),
• На \( x = 1 \): \( -4 \).

Наибольшее значение: \[ z_{\text{max}} = 0. \]

Наименьшее значение: \[ z_{\text{min}} = -10. \]

Ответ:

\[ z_{\text{max}} = 0, \quad z_{\text{min}} = -10. \]