Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Это задание относится к разделу "Математический анализ", а точнее к теме "Исследование функций нескольких переменных на экстремумы".

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( z(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 2y + 8 \) в замкнутой области \( D \), необходимо исследовать функцию в этой области. Область \( D \) задана неравенствами: \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \), \( x + y \leq 1 \).

Шаг 1: Исследование стационарных точек внутри области.

1. Найдём частные производные функции \( z(x, y) \): \[ z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 2x - 2 \] \[ z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = 2y - 2 \]
2. Приравняем частные производные к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = 1 \] Точка \((1, 1)\) не входит в область \(D\), так как \( x + y = 2 > 1 \).

Шаг 2: Исследование граничных точек.

На границе области \(D\) могут быть экстремумы, поэтому исследуем её.

1. \(x = 0\): \[ y \in [0, 1] \] \[ z(0, y) = y^2 - 2y + 8 \] Минимум этой функции на границе \(0 \leq y \leq 1\) находим, исследуя производную: \[ \frac{d}{dy}(y^2 - 2y + 8) = 2y - 2 \] Приравниваем к нулю: \(2y - 2 = 0 \Rightarrow y = 1\) \[ z(0, 1) = 7 \] Проверим также значение в точке \(y = 0\): \( z(0, 0) = 8 \)
2. \(y = 0\): \[ x \in [0, 1] \] \[ z(x, 0) = x^2 - 2x + 8 \] Минимум этой функции на границе \(0 \leq x \leq 1\) находим, исследуя производную: \[ \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 8) = 2x - 2 \] Приравниваем к нулю: \(2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1\) \[ z(1, 0) = 7 \] Проверим также значение в точке \(x = 0\): \( z(0, 0) = 8 \)
3. \(x + y = 1\): \(y = 1 - x\) \[ z(x, 1 - x) = 2x^2 - 2x + 7 \] Минимум этой функции на интервале \(0 \leq x \leq 1\) находим, исследуя производную: \[ \frac{d}{dx}(2x^2 - 2x + 7) = 4x - 2 \] Приравниваем к нулю: \(4x - 2 = 0 \Rightarrow x = 0.5\) \[ z(0.5, 0.5) = 6.5 \] Проверим также значения в точках \(x = 0\) и \(x = 1\): \( z(0, 1) = 7 \), \( z(1, 0) = 7 \)

Итак, минимум функции на границе области получен в точке \((0.5, 0.5)\) и равен \(6.5\). Наибольшее значение — \(8\), достигается в точках \((0, 0)\).

Ответ: Минимальное значение: \(6.5\) Максимальное значение: \(8\)