Найти наибольшее и наименьшее значения функций в области

Условие:

Решение:

На изображении представлена задача по математике: "Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( z = xy \) в области \( D \), треугольник \( A(0;0); B(2;0); C(0;3) \)". Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в данной области нужно рассмотреть значения функции в вершинах треугольника и на ограничивающих его сторонах. Поскольку функция \( z \) равна произведению координат \( x \) и \( y \), значение функции в вершинах треугольника будет равно нулю, так как в каждой вершине хотя бы одна из координат равна нулю. Для того чтобы проверить, есть ли наибольшее или наименьшее значение внутри области или на её границах, надо исследовать поведение функции на сторонах треугольника, так как внутри области функция принимает все промежуточные значения. Для сторон треугольника \( AB \) и \( AC \) (где \( y = 0 \) или \( x = 0 \)) функция также будет равна нулю. Следовательно, интерес представляет только сторона \( BC \). На стороне \( BC \) координата \( x \) линейно уменьшается от 2 до 0, а координата \( y \) линейно увеличивается от 0 до 3, их можно выразить через один параметр \( t \), где \( t \) изменяется от 0 до 1: \( x = 2 - 2t \), \( y = 3t \). Тогда функция \( f(t) = z(2-2t, 3t) = (2-2t)(3t) = 6t - 6t^2 \) на отрезке \( [0,1] \). Для нахождения экстремальных значений функции нужно взять производную по \( t \) и приравнять её к нулю. Производная \( f'(t) = 6 - 12t \). Приравняем производную к нулю: \( 6 - 12t = 0 \), откуда \( t = \frac{1}{2} \). Теперь необходимо вычислить значение функции при \( t = 0, \, t = 1 \) и \( t = \frac{1}{2} \), чтобы определить, где находится максимум или минимум на отрезке. - Для \( t = 0 \): \( f(0) = 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0^2 = 0 \), - Для \( t = 1 \): \( f(1) = 6 \cdot 1 - 6 \cdot 1^2 = 0 \), - Для \( t = \frac{1}{2} \): \( f\left(\frac{1}{2}\right) = 6 \cdot \frac{1}{2} - 6 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \). Следовательно, максимальное значение функции на данной области равно \( \frac{3}{2} \), а минимальное — нулю.