Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Это задание по математике, в частности по математическому анализу и теории функции. Давайте разберем каждое задание:

1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( y = \sqrt[3]{2(x-1)^2(x-7)} \) на отрезке \([-1, 5]\).

Чтобы найти экстремумы на заданном отрезке, необходимо:

• Найти производную функции \( y \).
• Определить критические точки внутри отрезка.
• Рассчитать значения функции в краевых точках отрезка и в критических точках.
• Сравнить полученные значения, чтобы выявить наибольшее и наименьшее.

Вычисление производной функции:

Обозначим подкоренное выражение как \( u(x) = 2(x-1)^2(x-7) \). Тогда \( y = u^{1/3}(x) \). Применим правило цепочки: \( y' = \frac{1}{3}u^{-2/3}(x) \cdot u'(x) \), где \( u'(x) = 4(x-1)(x-7) + 2(x-1)^2 \). Затем решаем уравнение \( y' = 0 \) для нахождения критических точек.

2) Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки \( x_0 = 0 \) до \( O(x^5) \) для функции \( y = \ln(3 + 2x) \).

Формула Тейлора для функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид:

\[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \ldots \]

Для функции \( y = \ln(3 + 2x) \), разложение в точке \( x_0 = 0 \) включает следующие шаги:

• Найти производные \( y', y'', \ldots \) и подставить \( x_0 \).
• Использовать до членов, которые включают \( x^5 \).

3) Исследовать функцию \( y = \frac{(x-1)^3}{x^2} \) и построить её график.

Для исследования функции необходимо:

• Найти её область определения.
• Определить асимптоты и особые точки (например, точки разрыва).
• Найти производную и исследовать на монотонность.
• Определить точки экстремума.
• Вычислить вторую производную для анализа выпуклости и вогнутости.
• Построить график функции на основании проведенного анализа.

Пожалуйста, уточните, если нужно решение какого-то конкретного пункта или более глубокое объяснение.