Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Это задание по математике, в частности по математическому анализу и теории функции. Давайте разберем каждое задание:

1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции $\text{(}y=\sqrt[3]{2(x-1{)}^2(x-7)}\text{)}$ на отрезке $\text{(}[-1,5]\text{)}$.

Чтобы найти экстремумы на заданном отрезке, необходимо:

• Найти производную функции $\text{(}y\text{)}$.
• Определить критические точки внутри отрезка.
• Рассчитать значения функции в краевых точках отрезка и в критических точках.
• Сравнить полученные значения, чтобы выявить наибольшее и наименьшее.

Вычисление производной функции:

Обозначим подкоренное выражение как $\text{(}u(x)=2(x-1{)}^2(x-7)\text{)}$. Тогда $\text{(}y=u^{1/3}(x)\text{)}$. Применим правило цепочки: $\text{(}{y}^{\prime }=\frac{1}{3}{u}^{-2/3}(x)\cdot u^{\prime }(x)\text{)}$, где $\text{(}{u}^{\prime }(x)=4(x-1)(x-7)+2(x-1{)}^2\text{)}$. Затем решаем уравнение $\text{(}{y}^{\prime }=0\text{)}$ для нахождения критических точек.

2) Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки $\text{(}{x}_0=0\text{)}$ до $\text{(}O(x^5)\text{)}$ для функции $\text{(}y=\ln (3+2x)\text{)}$.

Формула Тейлора для функции $\text{(}f(x)\text{)}$ в точке $\text{(}{x}_0\text{)}$ имеет вид:

$\text{[}f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\dots \text{]}$

Для функции $\text{(}y=\ln (3+2x)\text{)}$, разложение в точке $\text{(}{x}_0=0\text{)}$ включает следующие шаги:

• Найти производные $\text{(}{y}^{\prime },y^{″},\dots \text{)}$ и подставить $\text{(}{x}_0\text{)}$.
• Использовать до членов, которые включают $\text{(}{x}^5\text{)}$.

3) Исследовать функцию $\text{(}y=\frac{(x-1{)}^3}{x^2}\text{)}$ и построить её график.

Для исследования функции необходимо:

• Найти её область определения.
• Определить асимптоты и особые точки (например, точки разрыва).
• Найти производную и исследовать на монотонность.
• Определить точки экстремума.
• Вычислить вторую производную для анализа выпуклости и вогнутости.
• Построить график функции на основании проведенного анализа.

Пожалуйста, уточните, если нужно решение какого-то конкретного пункта или более глубокое объяснение.