Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области D, заданной условиями

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Исследование функций на экстремумы)

Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x^2 + xy - 2 в замкнутой области D, заданной условиями:
4x^2 - 4 \leq y \leq 0.

Решение:

1. Формулировка задачи

Функция z = x^2 + xy - 2 определена на замкнутой области D. Для нахождения экстремумов функции на области мы будем использовать метод Лагранжа и проверим границы области.

2. Условия области

Область D ограничена двумя кривыми:

• Верхняя граница: y = 0,
• Нижняя граница: y = 4x^2 - 4.

3. Критические точки внутри области

Для нахождения критических точек внутри области вычислим частные производные функции z и приравняем их к нулю:

 \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y = 0, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = x = 0. 

Из второго уравнения x = 0. Подставим это значение в первое уравнение:

 2(0) + y = 0 \implies y = 0. 

Таким образом, критическая точка внутри области: (x, y) = (0, 0). Проверим, принадлежит ли она области D. Подставляя x = 0, получаем:

 4(0)^2 - 4 \leq y \leq 0 \implies -4 \leq y \leq 0. 

Точка (0, 0) действительно принадлежит области.

4. Значения на границах области

Теперь исследуем функцию на границах области.

Граница 1: y = 0

Подставим y = 0 в функцию z:

 z = x^2 + x(0) - 2 = x^2 - 2. 

На этой границе функция принимает вид z = x^2 - 2. Здесь x ограничен условием 4x^2 - 4 \leq 0, что дает:

 4x^2 \leq 4 \implies x^2 \leq 1 \implies -1 \leq x \leq 1. 

Таким образом, на границе y = 0 исследуем функцию z = x^2 - 2 при x \in [-1, 1].
Значение функции:

• При x = -1: z = (-1)^2 - 2 = -1,
• При x = 1: z = (1)^2 - 2 = -1,
• При x = 0: z = (0)^2 - 2 = -2.

На этой границе наибольшее значение z = -1, наименьшее значение z = -2.

Граница 2: y = 4x^2 - 4

Подставим y = 4x^2 - 4 в функцию z:

 z = x^2 + x(4x^2 - 4) - 2 = x^2 + 4x^3 - 4x - 2. 

На этой границе x также ограничен условием -1 \leq x \leq 1. Исследуем функцию:

 z = 4x^3 + x^2 - 4x - 2. 

1. Вычислим значение функции в концах интервала:

   • При x = -1:  z = 4(-1)^3 + (-1)^2 - 4(-1) - 2 = -4 + 1 + 4 - 2 = -1. 
   • При x = 1:  z = 4(1)^3 + (1)^2 - 4(1) - 2 = 4 + 1 - 4 - 2 = -1. 

2. Проверим, есть ли экстремумы внутри интервала x \in (-1, 1). Для этого найдем производную функции:

 \frac{dz}{dx} = 12x^2 + 2x - 4. 

Приравняем производную к нулю:

 12x^2 + 2x - 4 = 0 \implies 6x^2 + x - 2 = 0. 

Решим квадратное уравнение методом дискриминанта:

 D = 1^2 - 4(6)(-2) = 1 + 48 = 49. 

Корни уравнения:

 x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2(6)} = \frac{-1 \pm 7}{12}. 

Получаем два корня:

 x_1 = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}. 

Оба корня принадлежат интервалу x \in (-1, 1). Найдем значение функции z в этих точках:

• При x = \frac{1}{2}:  z = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right) - 2 = 4\left(\frac{1}{8}\right) + \frac{1}{4} - 2 - 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - 4 = -\frac{9}{4}. 
• При x = -\frac{2}{3}:  z = 4\left(-\frac{2}{3}\right)^3 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(-\frac{2}{3}\right) - 2 = 4\left(-\frac{8}{27}\right) + \frac{4}{9} + \frac{8}{3} - 2 = -\frac{32}{27} + \frac{12}{27} + \frac{72}{27} - \frac{54}{27} = -\frac{2}{27}. 

5. Итог

Соберем все найденные значения:

• На границе y = 0: z \in \{-2, -1\},
• На границе y = 4x^2 - 4: z \in \{-1, -\frac{9}{4}, -\frac{2}{27}\},
• Внутри области: z = -2.

Наибольшее значение: z = -1.
Наименьшее значение: z = -2.