Найти множество значений функции y=6-x^2+4x

Данное уравнение является функцией вида $\text{(}y=6-x^2+4x\text{)}$, что говорит о том, что это квадратичная функция. Задача относится к предмету "Алгебра" и к разделу "Квадратичные функции" и их графиков.

Шаг 1: Преобразуем функцию для удобства.

Для того чтобы найти множество значений функции, прежде всего нужно привести ее к стандартному виду квадратного трёхчлена. Рассмотрим следующее: $\text{[}y=-x^2+4x+6.\text{]}$ Теперь выделим полный квадрат. Для этого возьмём часть $\text{(}-x^2+4x\text{)}$ и преобразуем её.

Шаг 2: Перепишем выражение для выделения полного квадрата.

Перепишем выражение так: $\text{[}y=-(x^2-4x)+6.\text{]}$ Теперь выделим полный квадрат внутри скобок. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $\text{(}x\text{)}$. Половина из $\text{(}-4\text{)}$ — это $\text{(}-2\text{)}$, а его квадрат — 4. Прибавим и вычтем 4: $\text{[}y=-(x^2-4x+4-4)+6=-(x-2{)}^2+6+4.\text{]}$

Шаг 3: Упрощаем выражение.

Теперь выражение выглядит так: $\text{[}y=-(x-2{)}^2+10.\text{]}$

Шаг 4: Определение множества значений функции.

Функция имеет вид $\text{(}y=-(x-2{)}^2+10\text{)}$. Это парабола, направленная ветвями вниз, так как перед квадратом стоит минус. Вершина параболы находится в точке $\text{(}x=2\text{)}$, $\text{(}y=10\text{)}$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, значение $\text{(}y=10\text{)}$ является максимальным значением функции. Множество значений функции — это все числа, меньше или равные 10.

Ответ

Множество значений функции: $\text{[}y\in (-\mathrm{\infty };10].\text{]}$