Найти множество значений функции y=6-x^2+4x

Данное уравнение является функцией вида \( y = 6 - x^2 + 4x \), что говорит о том, что это квадратичная функция. Задача относится к предмету "Алгебра" и к разделу "Квадратичные функции" и их графиков.

Шаг 1: Преобразуем функцию для удобства.

Для того чтобы найти множество значений функции, прежде всего нужно привести ее к стандартному виду квадратного трёхчлена. Рассмотрим следующее: \[ y = -x^2 + 4x + 6. \] Теперь выделим полный квадрат. Для этого возьмём часть \( -x^2 + 4x \) и преобразуем её.

Шаг 2: Перепишем выражение для выделения полного квадрата.

Перепишем выражение так: \[ y = -(x^2 - 4x) + 6. \] Теперь выделим полный квадрат внутри скобок. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины коэффициента при \( x \). Половина из \( -4 \) — это \( -2 \), а его квадрат — 4. Прибавим и вычтем 4: \[ y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 6 = -(x - 2)^2 + 6 + 4. \]

Шаг 3: Упрощаем выражение.

Теперь выражение выглядит так: \[ y = -(x - 2)^2 + 10. \]

Шаг 4: Определение множества значений функции.

Функция имеет вид \( y = -(x - 2)^2 + 10 \). Это парабола, направленная ветвями вниз, так как перед квадратом стоит минус. Вершина параболы находится в точке \( x = 2 \), \( y = 10 \). Поскольку ветви параболы направлены вниз, значение \( y = 10 \) является максимальным значением функции. Множество значений функции — это все числа, меньше или равные 10.

Ответ

Множество значений функции: \[ y \in (-\infty; 10]. \]