Найти множество значений функции на множестве решений неравенства

Предмет: Математический анализ

Раздел: Функции, пределы, комплексные числа, многочлены

Задание 1. Найти множество значений функции ( y = \log_6(1 - x) ) на множестве решений неравенства ( |x + 2| < 3 ).

Решение:

1. Найдём область определения функции ( y = \log_6(1 - x) ):

   Для логарифма подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным: [ 1 - x > 0 \implies x < 1. ] Таким образом, область определения функции: ( x \in (-\infty, 1) ).

2. Рассмотрим неравенство ( |x + 2| < 3 ):

   Раскроем модуль: [ -3 < x + 2 < 3. ] Вычтем 2 из всех частей: [ -5 < x < 1. ]

3. Объединим область определения и решение неравенства:

   ( x ) должно одновременно удовлетворять ( x \in (-\infty, 1) ) и ( x \in (-5, 1) ). Пересечение этих множеств: [ x \in (-5, 1). ]

4. Найдём множество значений ( y = \log_6(1 - x) ):

   Подставим границы ( x \in (-5, 1) ) в ( 1 - x ): [ x = -5 \implies 1 - x = 1 - (-5) = 6, ] [ x \to 1^- \implies 1 - x \to 0^+. ]

   Значения логарифма: [ y = \log_6(1 - x), \quad 1 - x \in (0, 6]. ] [ y \in (-\infty, 1]. ]

Ответ: Множество значений функции: ( y \in (-\infty, 1] ).

Задание 2. Построить график функции

[ y = \begin{cases} 2x - x^2, & -1 \leq x \leq 2, \ \frac{x - 2}{x - 4}, & x > 2. \end{cases} ]

Решение:

1. Исследуем первую часть функции ( y = 2x - x^2 ), ( -1 \leq x \leq 2 ):

   Это квадратичная функция ( y = -x^2 + 2x ), которая является параболой, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину: [ x{\text{верш}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1. ] Подставим ( x = 1 ): [ y{\text{верш}} = -(1)^2 + 2(1) = 1. ]

   Значения функции на концах отрезка: [ x = -1 \implies y = -(-1)^2 + 2(-1) = -1 - 2 = -3, ] [ x = 2 \implies y = -(2)^2 + 2(2) = -4 + 4 = 0. ]

   Таким образом, график на отрезке ( -1 \leq x \leq 2 ) — часть параболы с вершиной в точке ( (1, 1) ).

2. Исследуем вторую часть функции ( y = \frac{x - 2}{x - 4}, \, x > 2 ):

   Это гипербола. Найдём асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: ( x - 4 = 0 \implies x = 4 ),
   • Горизонтальная асимптота: ( \lim_{x \to \infty} \frac{x - 2}{x - 4} = 1 ).

3. Исследуем поведение функции: [ x \to 4^- \implies y \to -\infty, \quad x \to 4^+ \implies y \to +\infty. ] Значения функции в характерных точках: [ x = 3 \implies y = \frac{3 - 2}{3 - 4} = -1, \quad x = 5 \implies y = \frac{5 - 2}{5 - 4} = 3. ]

4. Построение графика:

   • На отрезке ( -1 \leq x \leq 2 ) график — часть параболы ( y = -x^2 + 2x ),
   • При ( x > 2 ) график — ветвь гиперболы с вертикальной асимптотой ( x = 4 ) и горизонтальной ( y = 1 ).

Задание 3. Построить график функции ( y = |\arctg(x - 1)| ).

Решение:

1. Исследуем функцию ( y = \arctg(x - 1) ):

   Функция ( \arctg(x) ) определена и непрерывна для всех ( x ), её значения лежат в интервале ( (-\pi/2, \pi/2) ). Функция ( x - 1 ) сдвигает график на 1 вправо.

2. Модуль функции:

   Функция ( |\arctg(x - 1)| ) делает все значения ( \arctg(x - 1) ) неотрицательными. График симметричен относительно оси ( OY ) для ( x = 1 ).

3. Построение графика:

   • График ( \arctg(x - 1) ) сдвинут вправо на 1,
   • Все отрицательные значения заменяются на положительные.

Задание 4. Представить в алгебраической форме комплексное число ( \left(\frac{\sqrt{3} + i}{4} \cdot (\sqrt{2} - i\sqrt{2}) \right)^{40} ).

Решение:

1. Приведём число к тригонометрической форме:

   Пусть ( z = \frac{\sqrt{3} + i}{4} \cdot (\sqrt{2} - i\sqrt{2}) ). Вычислим модуль и аргумент числа ( z ), затем возведём в 40-ю степень.

Продолжение решения можно запросить.