Найти минимум и максимум точки

Условие:

найти минимум и максимум точки

Условие: найти минимум и максимум точки

Решение:

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Математический анализ" или "Многомерная анализ".

В рамках данного задания нам нужно найти критические точки функции \(u=x3+y2+z2+12xy+2z\) и определить, являются ли эти точки минимумами, максимумами или седловыми точками.

Шаг 1: Найти первые частные производные функции \(u\)

Для нахождения критических точек вычислим первые частные производные функции \(u\) по переменным \(x\), \(y\) и \(z\):

\[ux=3x2+12y\]

\[uy=2y+12x\]

\[uz=2z+2\]

Шаг 2: Найти критические точки

Найдём точки, в которых первые частные производные равны нулю:

  1. \(ux=0\):

    \[3x2+12y=0\]

    \[x2+4y=0\]

    \[4y=x2\]

    \[y=x24\]

  2. \(uy=0\):

    \[2y+12x=0\]

    \[y+6x=0\]

    \[y=6x\]

  3. \(uz=0\):

    \[2z+2=0\]

    \[z=1\]

Подставим \(y=6x\) в уравнение \(y=x24\):

\[6x=x24\]

\[6x=x24\]

\[24x=x2\]

\[x224x=0\]

\[x(x24)=0\]

\[x=0 или x=24\]

Для \(x=0\):

\[y=60=0\]

\[z=1\]

Получаем точку \((0,0,1)\).

Для \(x=24\):

\[y=624=144\]

\[z=1\]

Получаем точку \((24,144,1)\).

Шаг 3: Определение типа критических точек

Для определения типа критических точек, необходимо исследовать вторые частные производные и вычислить гессиан.

Вторые частные производные:

\[2ux2=6x\]

\[2uy2=2\]

\[2uz2=2\]

\[2uxy=y(3x2+12y)=12\]

\[2uxz=0\]

\[2uyz=0\]

Гессиан \(H\):

\[H=|2ux22uxy2uxz2uyx2uy22uyz2uzx2uzy2uz2|=|6x1201220002|\]

\[H=|6x1201220002|=2|6x12122|=2(6x21212)=2(12x144)=24x288\]

Для точки \((0,0,1)\):

\[H=240288=288\]

Так как значение детерминанта Гессиана отрицательное (\(H<0\)), точка \((0,0,1)\) является седловой точкой.

Для точки \((24,144,1)\):

\[H=2424288=576288=288\]

Так как значение детерминанта Гессиана положительное (\(H>0\)), а \(2ux2=6x>0\) при \(x=24\), то точка \((24,144,1)\) будет точкой минимума.

Итог
  • Точка \((0,0,1)\) является седловой точкой.
  • Точка \((24,144,1)\) является точкой минимума.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут