Найти минимум и максимум точки

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Математический анализ" или "Многомерная анализ".

В рамках данного задания нам нужно найти критические точки функции \( u = x^3 + y^2 + z^2 + 12xy + 2z \) и определить, являются ли эти точки минимумами, максимумами или седловыми точками.

Шаг 1: Найти первые частные производные функции \(u\)

Для нахождения критических точек вычислим первые частные производные функции \(u\) по переменным \(x\), \(y\) и \(z\):

\[\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 + 12y\]

\[\frac{\partial u}{\partial y} = 2y + 12x\]

\[\frac{\partial u}{\partial z} = 2z + 2\]

Шаг 2: Найти критические точки

Найдём точки, в которых первые частные производные равны нулю:

1. \( \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \):

   \[ 3x^2 + 12y = 0 \]

   \[ x^2 + 4y = 0 \]

   \[ 4y = -x^2 \]

   \[ y = -\frac{x^2}{4} \]

2. \( \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \):

   \[ 2y + 12x = 0 \]

   \[ y + 6x = 0 \]

   \[ y = -6x \]

3. \( \frac{\partial u}{\partial z} = 0 \):

   \[ 2z + 2 = 0 \]

   \[ z = -1 \]

Подставим \( y = -6x \) в уравнение \( y = -\frac{x^2}{4} \):

\[-6x = -\frac{x^2}{4}\]

\[6x = \frac{x^2}{4}\]

\[24x = x^2\]

\[x^2 - 24x = 0\]

\[x(x - 24) = 0\]

\[x = 0 \text{ или } x = 24\]

Для \( x = 0 \):

\[y = -6 \cdot 0 = 0\]

\[z = -1\]

Получаем точку \( (0, 0, -1) \).

Для \( x = 24 \):

\[y = -6 \cdot 24 = -144\]

\[z = -1\]

Получаем точку \( (24, -144, -1) \).

Шаг 3: Определение типа критических точек

Для определения типа критических точек, необходимо исследовать вторые частные производные и вычислить гессиан.

Вторые частные производные:

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 6x\]

\[\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2\]

\[\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 2\]

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 + 12y) = 12\]

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = 0\]

\[\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = 0\]

Гессиан \( H \):

\[H = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} \\ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} \\ \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6x & 12 & 0 \\ 12 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}\]

\[H = \begin{vmatrix} 6x & 12 & 0 \\ 12 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 6x & 12 \\ 12 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (6x \cdot 2 - 12 \cdot 12) = 2 \cdot (12x - 144) = 24x - 288\]

Для точки \((0, 0, -1)\):

\[H = 24 \cdot 0 - 288 = -288\]

Так как значение детерминанта Гессиана отрицательное (\(H < 0\)), точка \((0, 0, -1)\) является седловой точкой.

Для точки \((24, -144, -1)\):

\[H = 24 \cdot 24 - 288 = 576 - 288 = 288\]

Так как значение детерминанта Гессиана положительное (\(H > 0\)), а \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 6x > 0\) при \( x = 24 \), то точка \((24, -144, -1)\) будет точкой минимума.

Итог

• Точка \((0, 0, -1)\) является седловой точкой.
• Точка \((24, -144, -1)\) является точкой минимума.