Найти минимум и максимум точки

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Математический анализ" или "Многомерная анализ".

В рамках данного задания нам нужно найти критические точки функции $\text{(}u=x^3+y^2+z^2+12xy+2z\text{)}$ и определить, являются ли эти точки минимумами, максимумами или седловыми точками.

Шаг 1: Найти первые частные производные функции $\text{(}u\text{)}$

Для нахождения критических точек вычислим первые частные производные функции $\text{(}u\text{)}$ по переменным $\text{(}x\text{)}$, $\text{(}y\text{)}$ и $\text{(}z\text{)}$:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=3x^2+12y\text{]}$

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=2y+12x\text{]}$

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }z}=2z+2\text{]}$

Шаг 2: Найти критические точки

Найдём точки, в которых первые частные производные равны нулю:

1. $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=0\text{)}$:

   $\text{[}3x^2+12y=0\text{]}$

   $\text{[}{x}^2+4y=0\text{]}$

   $\text{[}4y=-x^2\text{]}$

   $\text{[}y=-\frac{x^2}{4}\text{]}$

2. $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=0\text{)}$:

   $\text{[}2y+12x=0\text{]}$

   $\text{[}y+6x=0\text{]}$

   $\text{[}y=-6x\text{]}$

3. $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }z}=0\text{)}$:

   $\text{[}2z+2=0\text{]}$

   $\text{[}z=-1\text{]}$

Подставим $\text{(}y=-6x\text{)}$ в уравнение $\text{(}y=-\frac{x^2}{4}\text{)}$:

$\text{[}-6x=-\frac{x^2}{4}\text{]}$

$\text{[}6x=\frac{x^2}{4}\text{]}$

$\text{[}24x=x^2\text{]}$

$\text{[}{x}^2-24x=0\text{]}$

$\text{[}x(x-24)=0\text{]}$

$\text{[}x=0\text{ или }x=24\text{]}$

Для $\text{(}x=0\text{)}$:

$\text{[}y=-6\cdot 0=0\text{]}$

$\text{[}z=-1\text{]}$

Получаем точку $\text{(}(0,0,-1)\text{)}$.

Для $\text{(}x=24\text{)}$:

$\text{[}y=-6\cdot 24=-144\text{]}$

$\text{[}z=-1\text{]}$

Получаем точку $\text{(}(24,-144,-1)\text{)}$.

Шаг 3: Определение типа критических точек

Для определения типа критических точек, необходимо исследовать вторые частные производные и вычислить гессиан.

Вторые частные производные:

$\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}=6x\text{]}$

$\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}=2\text{]}$

$\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{z}^2}=2\text{]}$

$\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(3x^2+12y)=12\text{]}$

$\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }z}=0\text{]}$

$\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }z}=0\text{]}$

Гессиан $\text{(}H\text{)}$:

$\text{[}H=\left|\begin{array}{ccc}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}& \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}& \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }z}\\ \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }x}& \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}& \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }z}\\ \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }z\mathrm{\partial }x}& \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }z\mathrm{\partial }y}& \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{z}^2}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}6x& 12& 0\\ 12& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right|\text{]}$

$\text{[}H=\left|\begin{array}{ccc}6x& 12& 0\\ 12& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right|=2\cdot \left|\begin{array}{cc}6x& 12\\ 12& 2\end{array}\right|=2\cdot (6x\cdot 2-12\cdot 12)=2\cdot (12x-144)=24x-288\text{]}$

Для точки $\text{(}(0,0,-1)\text{)}$:

$\text{[}H=24\cdot 0-288=-288\text{]}$

Так как значение детерминанта Гессиана отрицательное ($\text{(}H<0\text{)}$), точка $\text{(}(0,0,-1)\text{)}$ является седловой точкой.

Для точки $\text{(}(24,-144,-1)\text{)}$:

$\text{[}H=24\cdot 24-288=576-288=288\text{]}$

Так как значение детерминанта Гессиана положительное ($\text{(}H>0\text{)}$), а $\text{(}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}=6x>0\text{)}$ при $\text{(}x=24\text{)}$, то точка $\text{(}(24,-144,-1)\text{)}$ будет точкой минимума.

Итог

• Точка $\text{(}(0,0,-1)\text{)}$ является седловой точкой.
• Точка $\text{(}(24,-144,-1)\text{)}$ является точкой минимума.