Найти лимит

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к предмету математический анализ, конкретнее к разделу пределы функции. Необходимо найти предел выражения вида: \[ \lim_{x \to e} \frac{\ln{x} - 1}{x - e} \]

Решение

Для решения этой задачи можем использовать правило Лопиталя, так как при подстановке \(x = e\) дробь принимает неопределённую форму \( \frac{0}{0} \).

Шаг 1. Проверим наличие неопределённости

Подставляем \(x = e\): \[ \frac{\ln{e} - 1}{e - e} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0} \]

Да, получается неопределённость \( \frac{0}{0} \), следовательно, можем применить правило Лопиталя. Это правило предполагает взятие производных числителя и знаменателя для дальнейшего нахождения предела.

Шаг 2. Находим производные числителя и знаменателя

Теперь найдём производные числителя и знаменателя по \(x\):

1. Производная от числителя: (\ln{x} - 1). Производная от (\ln{x}) — это \( \frac{1}{x} \), а производная от константы 1 — 0. Таким образом, производная числителя: \[ \frac{d}{dx} (\ln{x} - 1) = \frac{1}{x} \]
2. Производная от знаменателя: \( x - e \). Производная от \(x\) — это 1, а от константы \(e\) — 0. Таким образом, производная знаменателя: \[ \frac{d}{dx}(x - e) = 1 \]

Шаг 3. Записываем новый предел

После нахождения производных числителя и знаменателя по правилу Лопиталя, мы можем переписать предел: \[ \lim_{x \to e} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to e} \frac{1}{x} \]

Шаг 4. Подставляем \(x = e\)

Теперь можно просто подставить \(x = e\): \[ \frac{1}{e} \]

Ответ:

Предел выражения равен \( \frac{1}{e} \).