Найти круг сходимости

Предмет: Математический анализ
Раздел: Теория рядов, радиус и область сходимости степенного ряда

Дан степенной ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2n}{3n+2} \right)^n (2z - 5)^n. 

1. Найдём радиус сходимости

Общий вид степенного ряда:

 \sum a_n (z - z_0)^n. 

Здесь a_n = \left( \frac{2n}{3n+2} \right)^n, а центр ряда z_0 = \frac{5}{2}.

Радиус сходимости определяется по формуле Абеля:

 R = \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}}. 

Подставим a_n:

 \limsup\limits_{n \to \infty} \left| \frac{2n}{3n+2} \right| = \limsup\limits_{n \to \infty} \frac{2n}{3n+2}. 

При n \to \infty:

 \frac{2n}{3n+2} \approx \frac{2}{3}. 

Следовательно,

 \limsup\limits_{n \to \infty} |a_n|^{\frac{1}{n}} = \frac{2}{3}. 

Тогда радиус сходимости:

 R = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}. 

2. Определение круга сходимости

Круг сходимости определяется как

 |2z - 5| < \frac{3}{2}. 

Разделим на 2:

 |z - \frac{5}{2}| < \frac{3}{4}. 

Это означает, что степенной ряд сходится внутри круга с центром в точке z = \frac{5}{2} и радиусом \frac{3}{4}.

3. Исследование поведения на границе

Граница круга сходимости задаётся уравнением:

 |z - \frac{5}{2}| = \frac{3}{4}. 

Рассмотрим точки пересечения с вещественной осью. Это точки:

 z = \frac{5}{2} \pm \frac{3}{4}. 

То есть:

 z_1 = \frac{5}{2} + \frac{3}{4} = \frac{10}{4} + \frac{3}{4} = \frac{13}{4}, 

 z_2 = \frac{5}{2} - \frac{3}{4} = \frac{10}{4} - \frac{3}{4} = \frac{7}{4}. 

Чтобы исследовать сходимость в этих точках, нужно применить тест Абеля или Дирихле, но это требует дополнительного анализа.

4. Вывод

• Круг сходимости: |z - \frac{5}{2}| < \frac{3}{4}.
• Граница: |z - \frac{5}{2}| = \frac{3}{4}.
• Пересечения с вещественной осью: z = \frac{7}{4}, \frac{13}{4}.
• Поведение на границе требует дополнительного исследования (например, теста Абеля).

5. Графическое изображение

Круг с центром в z = \frac{5}{2} и радиусом \frac{3}{4} можно изобразить на комплексной плоскости.