Найти критическую точку первого рода функции

Давайте разберем ваш вопрос шаг за шагом, чтобы выполнить его корректно и подробно.

Определение предмета и раздела

Этот вопрос относится к математике, а именно к подразделу математического анализа, который изучает дифференциальное исчисление и свойства функций, включая нахождение производных и критических точек.

Ваше задание задано так: найти критическую точку первого рода функции \( y = \frac{1}{e^2 - x} \).

План решения:

1. Определяем производную функции \( y \).
2. Находим точки, в которых производная равна нулю или не существует (это и есть потенциальные критические точки).
3. Анализируем поведение функции \( y \) в этих точках для нахождения критической точки.

ШАГ 1: Нахождение производной функции

Дана функция: \[ y = \frac{1}{e^2 - x}. \]

Для её дифференцирования применяем правило производной сложной функции и производной частного:

Сначала перепишем \( y \):

\[ y = (e^2 - x)^{-1}. \]

Применяем формулу производной \( (u^n)' = nu^{n-1} \cdot u' \), где \( u = e^2 - x \):

\[ \frac{dy}{dx} = -1 \cdot (e^2 - x)^{-2} \cdot (-1). \]

Упрощая это:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{(e^2 - x)^2}. \]

ШАГ 2: Находим критические точки

Критические точки находятся, когда:

1. \( \frac{dy}{dx} = 0 \), или
2. \( \frac{dy}{dx} \) не существует.

1. Рассмотрим ситуацию \( \frac{dy}{dx} = 0 \):

Производная функции \( \frac{1}{(e^2 - x)^2} \) никогда не равна нулю, так как числитель равен \( 1 \), а знаменатель \( (e^2 - x)^2 \) всегда положителен при определённой функции \( y \).

2. Найдём, где \( \frac{dy}{dx} \) не существует:

Производная (равно как и сама функция \( y \)) не существует, если знаменатель \( (e^2 - x) \) равен нулю.

\[ e^2 - x = 0 \implies x = e^2. \]

Таким образом, при \( x = e^2 \) функция (и её производная) не определена.

ШАГ 3: Анализ критических точек

При \( x = e^2 \) функция \( y \) имеет разрыв. Это указывает на критическую точку типа разрыва, где анализ поведения функции требуется дополнительно, например, для определения типа разрыва.

Поведение функции около \( x = e^2 \):

• При \( x \to e^2^- \) (слева от \( e^2 \)): Знаменатель \( (e^2 - x) \to 0^+ \), значит, \( y \to +\infty \).
• При \( x \to e^2^+ \) (справа от \( e^2 \)): Знаменатель \( (e^2 - x) \to 0^- \), значит, \( y \to -\infty \).

Ответ:

Критической точки первого рода нет (поскольку производная нигде не равна нулю). Однако при \( x = e^2 \) наблюдается точка разрыва функции, где она стремится к бесконечности с одной стороны и к минус бесконечности с другой стороны.