Найти косинус угла между векторами a=(-4;0;-3) и b(3;2;6)

Определим предмет и раздел задания:

• Предмет: Линейная алгебра
• Раздел: Векторы и операции с ними

Теперь приступим к решению задачи. Для нахождения косинуса угла между двумя векторами \( \mathbf{a} = (-4, 0, -3) \) и \( \mathbf{b} = (3, 2, 6) \), мы будем использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} \]

Где:

• \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — это скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
• \( \|\mathbf{a}\| \) — это длина вектора \( \mathbf{a} \).
• \( \|\mathbf{b}\| \) — это длина вектора \( \mathbf{b} \).

1. Найдём скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-4) \cdot 3 + 0 \cdot 2 + (-3) \cdot 6 \]

Выполним вычисления:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-4) \cdot 3 + 0 \cdot 2 + (-3) \cdot 6 = -12 + 0 - 18 = -30 \]

2. Найдём длину (норму) вектора \( \mathbf{a} \) \( \|\mathbf{a}\| \):

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + (-3)^2} \]

Выполним вычисления:

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

3. Найдём длину (норму) вектора \( \|\mathbf{b}\| \):

\[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} \]

Выполним вычисления:

\[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7 \]

4. Подставим все значения в формулу для нахождения \( \cos \theta \):

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} = \frac{-30}{5 \cdot 7} \]

Выполним вычисления:

\[ \cos \theta = \frac{-30}{35} = -\frac{6}{7} \]

Ответ: Косинус угла между векторами \( \mathbf{a} = (-4, 0, -3) \) и \( \mathbf{b} = (3, 2, 6) \) равен \( -\frac{6}{7} \).