Найти коордитаны

Данное задание относится к математике, а именно к аналитической геометрии.

Необходимо найти координаты точки \( Q \), являющейся проекцией точки \( M_0(18, 4) \) на прямую, заданную уравнением \( 27x + 22y + 639 = 0 \).

1. Найдем направление нормали к данной прямой: Прямая задана уравнением общего вида \( Ax + By + C = 0 \), где \( A = 27 \), \( B = 22 \), \( C = 639 \). Нормаль к этой прямой имеет направление \( \vec{n} = (A, B) = (27, 22) \).
2. Пусть координаты точки Q - (x, y). Тогда вектор \( \overrightarrow{Q M_0} \) параллелен нормали: \( \overrightarrow{QM_0} = (x - 18, y - 4) \) Он должен быть пропорционален вектору \( \vec{n} = (27, 22) \). То есть существует число \( k \), такое что: \[ (x - 18, y - 4) = k (27, 22) \] Отсюда: \[ x - 18 = 27k \quad \text{и} \quad y - 4 = 22k \]
3. Выразим \( x \) и \( y \) через \( k \): \[ x = 27k + 18 \quad \text{и} \quad y = 22k + 4 \]
4. Подставим эти выражения в уравнение прямой: Уравнение прямой: \( 27x + 22y + 639 = 0 \). Подставим \( x = 27k + 18 \) и \( y = 22k + 4 \): \[ 27(27k + 18) + 22(22k + 4) + 639 = 0 \] Раскроем скобки: \[ 729k + 486 + 484k + 88 + 639 = 0 \] Сложим коэффициенты при \( k \) и свободные члены: \[ 1213k + 1213 = 0 \]
5. Найдем \( k \): \[ 1213k = -1213 \] \[ k = -1 \]
6. Найдём координаты \( Q \) : Подставим \( k = -1 \) в выражения для \( x \) и \( y \): \[ x = 27(-1) + 18 = -27 + 18 = -9 \] \[ y = 22(-1) + 4 = -22 + 4 = -18 \] Таким образом, точка \( Q \) имеет координаты (-9, -18).