Найти координаты точки

Этот вопрос относится к предмету математики, разделу аналитической геометрии.

Даны две точки A(7,5,6) и B(17,-15,21). Найти координаты точки M, такой что \( MB = 4AM \). Пусть координаты точки M будут \((x, y, z)\). Сначала найдем вектора \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{MB}\):

• \(\overrightarrow{AM} = (x-7, y-5, z-6) \)
• \(\overrightarrow{MB} = (17-x, -15-y, 21-z) \)

По условию задачи имеем:

• \( MB = 4AM \)

Выразим длины этих векторов:

• \( AM = \sqrt{(x-7)^2 + (y-5)^2 + (z-6)^2} \)
• \( MB = \sqrt{(17-x)^2 + (-15-y)^2 + (21-z)^2} \)

Так как \( MB = 4AM \), возведем в квадрат оба выражения:

• \((17-x)^2 + (-15-y)^2 + (21-z)^2 = 16((x-7)^2 + (y-5)^2 + (z-6)^2) \)

Рассмотрим каждую координату отдельно, так как уравнения должны выполняться для каждой координаты независимо:

1. Для x: \[(17-x) = 4(x-7) \implies 17 - x = 4x - 28 \implies 17 + 28 = 5x \implies 45 = 5x \implies x = 9\]
2. Для y: \[-15 - y = 4(y-5) \implies -15 - y = 4y - 20 \implies -15 + 20 = 5y \implies 5 = 5y \implies y = 1\]
3. Для z: \[21 - z = 4(z-6) \implies 21 - z = 4z - 24 \implies 21 + 24 = 5z \implies 45 = 5z \implies z = 9\]

Таким образом, координаты точки M: (9, 1, 9). Ответ: \(9,1,9\).