Найти коэффициент, соответствующий разложению функции в ряд Фурье

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к математическому анализу, а именно к теме разложения функций в ряд Фурье.

Условие:

Указана кусочная функция \( f(x) \):

\[ f(x) = \begin{cases} 1, & -1 < x \leq 0, \\ 4, & 0 < x < 1. \end{cases} \]

Требуется найти коэффициент \( b_5 \), соответствующий разложению функции в ряд Фурье, и в ответе указать \( \pi b_5 \).

Алгоритм нахождения \( b_5 \):

Коэффициенты \( b_n \) в разложении функции в ряд Фурье записываются как:

\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) dx. \]

Для данного задания:

• Период \( T = 2 \),
• \( f(x) \) определена на интервале \( [-1, 1] \),
• Формула для \( b_n \):

\[ b_n = \int_{-1}^{1} f(x) \sin(n \pi x) dx. \]

Записываем \( b_5 \):

\[ b_5 = \int_{-1}^{1} f(x) \sin(5\pi x) dx. \]

Разобьем интеграл по участкам:

\[ b_5 = \int_{-1}^{0} 1 \cdot \sin(5\pi x) dx + \int_{0}^{1} 4 \cdot \sin(5\pi x) dx. \]

1. Первый интеграл (\( -1 < x \leq 0 \)):

\[ \int_{-1}^{0} \sin(5\pi x) dx = \left[ -\frac{1}{5\pi} \cos(5\pi x) \right]_{-1}^{0}. \]

Вычислим:

• При \( x = 0 \): \( -\frac{1}{5\pi} \cos(5\pi \cdot 0) = -\frac{1}{5\pi} \cdot 1 = -\frac{1}{5\pi}. \)
• При \( x = -1 \): \( -\frac{1}{5\pi} \cos(5\pi \cdot (-1)) = -\frac{1}{5\pi} \cdot \cos(-5\pi). \)

Так как \( \cos(-5\pi) = \cos(5\pi) = -1 \), то:

\[ -\frac{1}{5\pi} \cdot (-1) = \frac{1}{5\pi}. \]

Подставляем:

\[ \int_{-1}^{0} \sin(5\pi x) dx = -\frac{1}{5\pi} - \left(\frac{1}{5\pi}\right) = -\frac{2}{5\pi}. \]

2. Второй интеграл (\( 0 < x < 1 \)):

\[ \int_{0}^{1} 4 \cdot \sin(5\pi x) dx = 4 \int_{0}^{1} \sin(5\pi x) dx. \]

Используем ранее найденный результат:

\[ \int_{0}^{1} \sin(5\pi x) dx = \frac{2}{5\pi}. \]

Умножаем на 4:

\[ 4 \cdot \frac{2}{5\pi} = \frac{8}{5\pi}. \]

3. Суммируем результаты:

\[ b_5 = -\frac{2}{5\pi} + \frac{8}{5\pi} = \frac{6}{5\pi}. \]

Ответ:

Требуется указать \( \pi b_5 \):

\[ \pi b_5 = \pi \cdot \frac{6}{5\pi} = \frac{6}{5}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{6}{5}} \]