Найти коэффициент при sin 3x в ряде Фурье для нечетной функции. имеющей период 2п и равной x^2 при 0 <х < п

Предмет: Математика

Раздел: Анализ Фурье

Функция \( f(x) \) задана как \( x^2 \) на интервале \( 0 < x < \pi \). Период функции \( T = 2\pi \), и функция является нечётной функцией. Для нахождения коэффициента при \( \sin(3x) \) в ряде Фурье, рассмотрим разложение функции \( f(x) \) в ряд Фурье в форме: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx) \] Так как функция нечётная, её разложение имеет только синусоидальные члены (не содержится членов с косинусами или константой), и коэффициенты \( b_n \) для разложения определяются следующим образом: \[ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T/2} f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)dx \]

Поставим конкретные значения для \( f(x) = x^2 \), \( T = 2\pi \), и для \( n = 3 \): \[ b_3 = \frac{2}{2\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \sin(3x) \, dx \] Посчитаем интеграл: \[ b_3 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \sin(3x) \, dx \]

Применим интегрирование по частям дважды:

1. Первый раз: Пусть \( u = x^2 \) и \( dv = \sin(3x)dx \). Тогда \( du = 2x dx \) и \( v = -\frac{1}{3} \cos(3x) \). \[ \int x^2 \sin(3x) \, dx = -\frac{x^2}{3} \cos(3x) \bigg|_0^{\pi} + \frac{2}{3} \int x \cos(3x) \, dx \]
2. Второй раз: Пусть \( u = x \) и \( dv = \cos(3x)dx \). Тогда \( du = dx \) и \( v = \frac{1}{3} \sin(3x) \). \[ \int x \cos(3x) \, dx = \frac{x}{3} \sin(3x) \bigg|_0^{\pi} - \frac{1}{3} \int \sin(3x) \, dx \] \[ = \frac{x}{3} \sin(3x) \bigg|_0^{\pi} + \frac{1}{9} \cos(3x) \bigg|_0^{\pi} \]

Теперь вычислим конечные члены интегралов: \[ -\frac{x^2}{3} \cos(3x) \bigg|_0^{\pi} = -\frac{\pi^2}{3} \cos(3\pi) + 0 = -\frac{\pi^2}{3} (-1) = \frac{\pi^2}{3} \] \[ \frac{2}{3} \left( \frac{x}{3} \sin(3x) \bigg|_0^{\pi} + \frac{1}{9} \cos(3x) \bigg|_0^{\pi} \right) = \frac{2}{3} \left( 0 + \frac{1}{9} ( \cos(3\pi) - \cos(0)) \right) = \frac{2/3} \cdot \left( \frac{-2}{9} \right) = \frac{-4}{27} \] Таким образом, \[ b_3 = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi^2}{3} - \frac{4}{27} \right) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{9\pi^2}{27} - \frac{4}{27} \right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{9\pi^2 - 4}{27} = \frac{9\pi^2 - 4}{27\pi} \]

Итак, коэффициент при \( \sin(3x) \) в ряде Фурье для данной функции: \[ b_3 = \frac{9\pi^2 - 4}{27\pi} \]