Найти, используя определение, приращение и дифференциал функции

Это задача по математике, а именно из раздела "Дифференциальное исчисление" в курсе "Математического анализа".

Задание:

Нужно найти приращение и дифференциал функции \(y = 3x^3 + x - 1\) в точке \(x_0 = 1\), а затем сравнить их значения при \(\Delta x = 1\), \(\Delta x = 0.1\), и \(\Delta x = 0.01\).

РЕШЕНИЕ

1. Найдем приращение функции:

Приращение функции \( \Delta y \) определяется как разность между значениями функции в точке \( x_0 \) и в точке \( x_0 + \Delta x \).

Формула приращения:

\[ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0), \]

где \( f(x) = 3x^3 + x - 1 \).

Значение функции в точке \( x_0 = 1 \):

\[ f(1) = 3(1)^3 + 1 - 1 = 3. \]

Значение функции в точке \( x_0 + \Delta x \):

\[ f(x_0 + \Delta x) = 3(x_0 + \Delta x)^3 + (x_0 + \Delta x) - 1. \]

Тогда приращение функции:

\[ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \left[3(x_0 + \Delta x)^3 + (x_0 + \Delta x) - 1 \right] - 3. \]

Для различных значений \(\Delta x\):

• При \(\Delta x = 1\):

  \[ f(1+1) = 3(2)^3 + 2 - 1 = 3(8) + 2 - 1 = 24 + 2 - 1 = 25. \]

  Тогда \[ \Delta y = 25 - 3 = 22. \]

• При \(\Delta x = 0.1\):

  \[ f(1 + 0.1) = 3(1.1)^3 + 1.1 - 1 = 3(1.331) + 1.1 - 1 = 3.993 + 0.1 = 4.093. \]

  Тогда \[ \Delta y = 4.093 - 3 = 1.093. \]

• При \(\Delta x = 0.01\):

  \[ f(1 + 0.01) = 3(1.01)^3 + 1.01 - 1 = 3(1.030301) + 1.01 - 1 = 3.090903 + 0.01 = 3.100903. \]

  Тогда \[ \Delta y = 3.100903 - 3 = 0.100903. \]

2. Найдем дифференциал функции:

Дифференциал функции \(\mathrm{d}y\) приближает изменение функции и выражается через производную:

\[ \mathrm{d}y = f'(x_0)\, \mathrm{d}x. \]

Найдем производную функции \( y = 3x^3 + x - 1 \):

\[ f'(x) = 9x^2 + 1. \]

В точке \( x_0 = 1 \):

\[ f'(1) = 9(1)^2 + 1 = 10. \]

Тогда дифференциал:

\[ \mathrm{d}y = 10 \cdot \Delta x. \]

Для различных значений \(\Delta x\):

• При \(\Delta x = 1\):

  \[ \mathrm{d}y = 10 \cdot 1 = 10. \]

• При \(\Delta x = 0.1\):

  \[ \mathrm{d}y = 10 \cdot 0.1 = 1. \]

• При \(\Delta x = 0.01\):

  \[ \mathrm{d}y = 10 \cdot 0.01 = 0.1. \]

3. Сравним приращение и дифференциал:

Ответ:

• Для \(\Delta x = 1\), \(\Delta y = 22\), \(\mathrm{d}y = 10\).
• Для \(\Delta x = 0.1\), \(\Delta y = 1.093\), \(\mathrm{d}y = 1\).
• Для \(\Delta x = 0.01\), \(\Delta y = 0.100903\), \(\mathrm{d}y = 0.1\).

Как можно видеть, при уменьшении \(\Delta x\), значения приращения и дифференциала начинают почти совпадать. Это связано с тем, что для малых \(\Delta x\), дифференциал лучше приближает значение приращения функции.