Найти интервалы возрастания и убывания функции у=1 х^2+3

Определим предмет:

Математика.

Раздел предмета:

Математический анализ, изучение функций — анализ возрастания и убывания функций.

Задание:

Найти интервалы возрастания и убывания функции: \[ y = \frac{1}{x^2 + 3}. \]

Пошаговое решение:

1. Исследуем функцию

Ищем, на каких интервалах функция \( y \) возрастает, а на каких убывает. Для этого нужно найти производную функции \( y \) и проанализировать её знак.

2. Найдем производную функции

Дана функция: \[ y = \frac{1}{x^2 + 3}. \]

Пусть \( u(x) = x^2 + 3 \). Тогда \( y = u^{-1} = u(x)^{-1} \).

Используем производную дробно-рациональной функции. Производная:

\[ y' = -\frac{(x^2 + 3)'}{(x^2 + 3)^2}. \]

В числителе находим производную \( x^2 + 3 \):

\[ (x^2 + 3)' = 2x. \]

Подставляем:

\[ y' = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}. \]

3. Определяем знак \( y' \)

Теперь найдём, при каких значениях \( x \) производная \( y' \) положительна и отрицательна.

Производная: \[ y' = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}. \]

Разберёмся со знаками:

1. В знаменателе \( (x^2 + 3)^2 \): невозможно, чтобы знаменатель был отрицательным, так как \( (x^2+3)>0 \) для любого \( x \) (здесь квадрат делает выражение положительным). То есть знаменатель всегда положителен.
2. В числителе \( -2x \): здесь знак зависит только от \( x \). Анализируем числитель:
   • Если \( x > 0 \), то \( -2x < 0 \) → \( y' < 0 \) (убывание).
   • Если \( x < 0 \), то \( -2x > 0 \) → \( y' > 0 \) (возрастание).

Итак:

• Функция возрастает при \( x < 0 \).
• Функция убывает при \( x > 0 \).

4. Ответ

Интервалы возрастания: \( (- \infty, 0) \).

Интервалы убывания: \( (0, +\infty) \).

Обоснование результатов:

Функция \( y = \frac{1}{x^2 + 3} \) описывает сверху-вниз открывающуюся параболу, поскольку знаменатель возрастает с увеличением модулей \( x \). Поэтому на отрицательной полуоси \( x \) функция возрастает, а на положительной — убывает.