Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на его концах

Предмет: Математический анализ

Раздел: Сходимость степенных рядов

Дан степенной ряд:

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x+3)^n}{\ln(n+1)} 

1. Найдём радиус сходимости

Используем признак Д'Аламбера:

 R = \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| 

где
 a_n = \frac{(-1)^n (2x+3)^n}{\ln(n+1)} 

Рассчитаем отношение:

 \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \left| \frac{(-1)^n (2x+3)^n}{\ln(n+1)} \cdot \frac{\ln(n+2)}{(-1)^{n+1} (2x+3)^{n+1}} \right| 

Упрощаем:

 \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \left| \frac{\ln(n+2)}{\ln(n+1)} \cdot \frac{1}{2x+3} \right| 

Так как
 \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\ln(n+2)}{\ln(n+1)} = 1 
то получаем:

 R = \frac{1}{|2x+3|} 

2. Определяем интервал сходимости

Ряд сходится при

 |2x+3| < 1 

Решаем неравенство:

 -1 < 2x + 3 < 1 

Вычитаем 3:

 -4 < 2x < -2 

Делим на 2:

 -2 < x < -1 

То есть, интервал сходимости:
 (-2, -1) 

3. Исследуем сходимость на концах

• При x = -2:
  Подставляем x = -2 в ряд:

   \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (-1)^n}{\ln(n+1)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)} 

  Это гармонический ряд по логарифму, он расходится.

• При x = -1:
  Подставляем x = -1 в ряд:

   \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (1)^n}{\ln(n+1)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln(n+1)} 

  Это знакочередующий ряд. Проверим признак Лейбница:

  • \frac{1}{\ln(n+1)} монотонно убывает
  • \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0

• Значит, ряд сходится по признаку Лейбница.

4. Ответ

Интервал сходимости:
 [-2, -1) 
(сходится при x = -1, расходится при x = -2).