Найти интеграл с помощью бета-функции Эйлера

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Вычисление интегралов, специальные функции (бета-функция Эйлера)

Дано выражение:

 \int \frac{\sqrt[3]{1 + \sqrt{x}}}{x \cdot \sqrt[6]{x^5}} \, dx 

Приведем подынтегральное выражение к более удобному виду.

Шаг 1: Упростим дробь

Запишем знаменатель:

 x \cdot \sqrt[6]{x^5} = x \cdot x^{5/6} = x^{1 + 5/6} = x^{11/6} 

Теперь числитель:

 \sqrt[3]{1 + \sqrt{x}} = (1 + \sqrt{x})^{1/3} = \left(1 + x^{1/2} \right)^{1/3} 

Итак, интеграл принимает вид:

 \int \frac{(1 + x^{1/2})^{1/3}}{x^{11/6}} \, dx 

Шаг 2: Подстановка

Пусть  x = t^2 , тогда  dx = 2t \, dt 

Тогда:

•  x^{1/2} = t 
•  x^{11/6} = (t^2)^{11/6} = t^{22/6} = t^{11/3} 
•  (1 + x^{1/2})^{1/3} = (1 + t)^{1/3} 

Подставим всё в интеграл:

 \int \frac{(1 + t)^{1/3}}{t^{11/3}} \cdot 2t \, dt = 2 \int \frac{(1 + t)^{1/3}}{t^{8/3}} \, dt 

Шаг 3: Подстановка для бета-функции

Подстановка:
Пусть  u = \frac{t}{1 + t} \Rightarrow t = \frac{u}{1 - u} 

Тогда:

•  dt = \frac{du}{(1 - u)^2} 
•  1 + t = \frac{1}{1 - u} 
•  t = \frac{u}{1 - u} 

Теперь выразим подынтегральное выражение:

 (1 + t)^{1/3} = (1 - u)^{-1/3}, \quad t^{8/3} = \left(\frac{u}{1 - u} \right)^{8/3} 

И:

 \frac{(1 + t)^{1/3}}{t^{8/3}} \cdot dt = \frac{(1 - u)^{-1/3}}{\left( \frac{u}{1 - u} \right)^{8/3}} \cdot \frac{du}{(1 - u)^2} 

Упростим:

 = \frac{(1 - u)^{-1/3}}{u^{8/3} (1 - u)^{-8/3}} \cdot \frac{du}{(1 - u)^2} = \frac{(1 - u)^{-1/3 + 8/3 - 2}}{u^{8/3}} \, du 

 = \frac{1}{u^{8/3}} \cdot (1 - u)^{5/3 - 2} \, du = u^{-8/3} (1 - u)^{-1/3} \, du 

Шаг 4: Применим определение бета-функции

Интеграл принимает вид:

 2 \int_0^1 u^{-8/3} (1 - u)^{-1/3} \, du 

Это выражение — определение бета-функции:

 B(p, q) = \int_0^1 u^{p - 1} (1 - u)^{q - 1} \, du 

Сравнивая, получаем:

 p - 1 = -\frac{8}{3} \Rightarrow p = -\frac{5}{3}, \quad q - 1 = -\frac{1}{3} \Rightarrow q = \frac{2}{3} 

Значит:

 \int \frac{\sqrt[3]{1 + \sqrt{x}}}{x \cdot \sqrt[6]{x^5}} \, dx = 2 \cdot B\left(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3} \right) 

Ответ:

 \int \frac{\sqrt[3]{1 + \sqrt{x}}}{x \cdot \sqrt[6]{x^5}} \, dx = 2 \cdot B\left(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3} \right) 

Если нужно выразить через гамма-функции:

 B(p, q) = \frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p + q)} 

Но в данном случае  p = -\frac{5}{3}  — аргумент отрицательный, и значение гамма-функции не определено в обычном смысле. Поэтому результат можно оставить в виде выражения через бета-функцию.