Найти интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Интегралы)

Задано выражение, представляющее частичный ряд. Нужно найти его интеграл:

\[ \int \left(x + \frac{x^5}{5} + \frac{x^9}{9} + \dots + \frac{x^{4n-3}}{4n-3} + \dots \right) dx. \]

Шаг 1: Анализ выражения

Дан бесконечный ряд, в котором общий член записывается как:

\[ \frac{x^{4n - 3}}{4n - 3}. \]

Поэтому выражение в скобке можно переписать как:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n - 3}}{4n - 3}. \]

Нужно найти интеграл этого ряда.

Шаг 2: Интегрирование

Интегрирование суммы (ряда) возможно, если ряд сходится, а интеграция выполняется почленно. Интегрируем член \(\frac{x^{4n - 3}}{4n - 3}\):

\[ \int \frac{x^{4n - 3}}{4n - 3} dx. \]

Используем стандартное правило интегрирования для степенной функции \(\int x^m dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C\):

\[ \int \frac{x^{4n - 3}}{4n - 3} dx = \frac{1}{4n - 3} \cdot \frac{x^{4n - 3 + 1}}{4n - 3 + 1}. \]

То есть:

\[ \frac{x^{4n - 2}}{(4n - 3)(4n - 2)}. \]

Шаг 3: Запись общего результата

Интеграл всего ряда будет:

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{4n - 2}}{(4n - 3)(4n - 2)} + C, \]

где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

Итог: Интеграл данного бесконечного ряда записывается в виде: