Найти градиент функции и его проекцию на ось OX

Это задача по математическому анализу, а именно по разделу "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных". Нужно найти градиент функции и его проекцию на ось OX.

Дано: \[ U = 2\frac{x}{y} + \frac{y}{z} - \frac{z}{x} \] и точка \( A(-1, 2, -1) \).

Градиент функции \( U \) - это вектор, составленный из частных производных функции по всем переменным: \[\nabla U = \left( \frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z} \right) \]

Найдем частные производные.

1. Частная производная по \( x \): \[\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( 2\frac{x}{y} + \frac{y}{z} - \frac{z}{x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 2\frac{x}{y} \right) + \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{z} \right) - \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{z}{x} \right)\]

   Рассмотрим каждую часть отдельно:

   • \[\frac{\partial}{\partial x} \left( 2\frac{x}{y} \right) = \frac{2}{y}\]
   • \[\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{z} \right) = 0\] (здесь \( y \) и \( z \) не зависят от \( x \))
   • \[\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{z}{x} \right) = -\frac{z}{x^2}\]

   Тогда: \[\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{2}{y} - \frac{z}{x^2}\]

2. Частная производная по \( y \): \[\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2\frac{x}{y} + \frac{y}{z} - \frac{z}{x} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2\frac{x}{y} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{z} \right) - \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{z}{x} \right)\]

   Рассмотрим каждую часть отдельно:

   • \[\frac{\partial}{\partial y} \left( 2\frac{x}{y} \right) = -\frac{2x}{y^2}\]
   • \[\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{z} \right) = \frac{1}{z}\]
   • \[\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{z}{x} \right) = 0\] (здесь \( x \) и \( z \) не зависят от \( y \))

   Тогда: \[\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{2x}{y^2} + \frac{1}{z}\]

3. Частная производная по \( z \): \[\frac{\partial U}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( 2\frac{x}{y} + \frac{y}{z} - \frac{z}{x} \right) = \frac{\partial}{\partial z} \left( 2\frac{x}{y} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{y}{z} \right) - \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{z}{x} \right)\]

   Рассмотрим каждую часть отдельно:

   • \[\frac{\partial}{\partial z} \left( 2\frac{x}{y} \right) = 0\] (здесь \( x \) и \( y \) не зависят от \( z \))
   • \[\frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{y}{z} \right) = -\frac{y}{z^2}\]
   • \[\frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{z}{x} \right) = \frac{1}{x}\]

   Тогда: \[\frac{\partial U}{\partial z} = -\frac{y}{z^2} + \frac{1}{x}\]

Теперь найдем значения этих производных в точке \( A(-1, 2, -1) \):

Подставим значения \( x = -1 \), \( y = 2 \), \( z = -1 \):

• \[\left. \frac{\partial U}{\partial x} \right|_{(-1, 2, -1)} = \frac{2}{2} - \frac{-1}{(-1)^2} = 1 - 1 = 0\]
• \[\left. \frac{\partial U}{<|vq_215|># Текст заголовка: Это задача по математическому анализу, а именно по разделу "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных". Нужно найти градиент функции и его проекцию на ось OX. # LaTex разметка: # 1. \( U = 2\frac{x}{y} + \frac{y}{z} - \frac{z}{x} \) # 2. \( A(-1, 2, -1) \) # 3. \( U \) # 4. \(\nabla U = \left( \frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z} \right) \) # 5. \( x \) # 6. \( \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( 2\frac{x}{y} + \frac{y}{z} - \frac{z}{x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 2\frac{x}{y} \right) + \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{z} \right) - \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{z}{x} \right) \) # 7. \( \frac{\partial}{\partial x} \left( 2\frac{x}{y} \right) = \frac{2}{y} \) # 8. \( \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{z} \right) = 0 \) # 9. \( y \), \( z \) # 10. \( \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{z}{x} \right) = -\frac{z}{x^2} \) # 11. \( \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{2}{y} - \frac{z}{x^2} \) # 12. \( y \) # 13. \( \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2\frac{x}{y} + \frac{y}{z} - \frac{z}{x} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2\frac{x}{y} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{z} \right) - \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{z}{x} \right) \) # 14. \( \frac{\partial}{\partial y} \left( 2\frac{x}{y} \right) = -\frac{2x}{y^2} \) # 15. \( \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{z} \right) = \frac{1}{z} \) # 16. \( x \), \( z \) # 17. \( \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{z}{x} \right) = 0 \) # 18. \( \frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{2x}{y^2} + \frac{1}/{z} \) # 19. \( z \) # 20. \( \frac{\partial U}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( 2\frac{x}{y} + \frac{y}/{z} - \frac{z}/{x} \right) = \frac{\partial}/{\partial z} \left( 2\frac{x}/{y} \right) + \frac{\partial}/{\partial z} \left( \frac{y}/{z} \right) - \frac{\partial}/{\partial z} \(left( \frac{z}/{x} \right) \) # 21. \( \frac{\partial}/{\partial z} \left( 2\frac{x}/{y} \right) = 0 \) # 22. \( x \), \( y \) # 23. \( \frac{\partial U}{\partial z} = -\frac{y}{z^2} + \frac{1}/{x}<|...|>al y} \right|_{(-1, 2, -1)} = \left( -\frac{2(-1)}{2^2} + \frac{1}{-1} \right) = \left( \frac{2}{4} - 1 \right) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\]
• \[\left. \frac{\partial U}{\partial z} \right|_{(-1, 2, -1)} = \left( -\frac{2}{(-1)^2} + \frac{1}/{-1} \right) = -2\]

Градиент функции \( U \) в точке \[ \nabla U (A) = (0, -\frac{1}/{2}, -3) \]

Проекция градиента на ось OX - это первая компонента градиента, равная \[ 0 \].

Ответ: \( 0 \).