Найти экстремумы функций и определить интервалы, на которых функции возрастают и убывают

Это задание по математике (раздел — математический анализ, тема — нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции).

Мы должны найти экстремумы функций и определить интервалы, на которых функции возрастают и убывают. Нахождение экстремумов включает следующие шаги:

1. Найти первую производную функции.
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
3. Определить знаки производной на промежутках, разбитых критическими точками, и тем самым установить интервалы возрастания и убывания.
4. Определить, какие из критических точек являются минимумами, максимумами или не дают экстремума.

1. \( y = x^4 - 2x^2 + 5 \)

1. Найдем первую производную функции: \[ y' = 4x^3 - 4x. \]
2. Найдем критические точки: Приравниваем производную к нулю: \[ 4x^3 - 4x = 0. \] Вынесем общий множитель: \[ 4x(x^2 - 1) = 0, \] \[ x(x - 1)(x + 1) = 0. \] Критические точки: \( x = -1, 0, 1 \).
3. Определяем знаки производной: Разбиваем числовую прямую на интервалы: \( (-\infty, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, \infty) \). Проверим знаки производной на этих интервалах:
   • На интервале \( (-\infty, -1) \): Подставим \( x = -2 \) в производную: \( y' = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 \). Значит, \( y' < 0 \) — функция убывает.
   • На интервале \( (-1, 0) \): Подставим \( x = -0.5 \): \( y' = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 \). Значит, \( y' > 0 \) — функция возрастает.
   • На интервале \( (0, 1) \): Подставим \( x = 0.5 \): \( y' = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 \). Значит, \( y' < 0 \) — функция убывает.
   • На интервале \( (1, \infty) \): Подставим \( x = 2 \): \( y' = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 \). Значит, \( y' > 0 \) — функция возрастает.
4. Определяем экстремумы:
   • В точке \( x = -1 \): производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка минимума.
   • В точке \( x = 0 \): производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка максимума.
   • В точке \( x = 1 \): производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка минимума.
   • Минимумы в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \).
   • Максимум в точке \( x = 0 \).
   • Функция возрастает на интервалах \( (-1, 0) \) и \( (1, \infty) \).
   • Функция убывает на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (0, 1) \).

---

2. \( y = \sqrt{3x - 7} \)

1. Найдем первую производную: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{3x - 7}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x - 7}}. \]
2. Найдем область определения: Область определения функции \( y = \sqrt{3x - 7} \) — это условие \( 3x - 7 \geq 0 \), то есть \( x \geq \frac{7}{3} \).
3. Найдем критические точки: Производная положительна на области определения, так как знаменатель \( y' \) всегда больше нуля на \( x \geq \frac{7}{3} \). Так как производная всегда положительна, функция возрастает на всей области определения.
• Функция не имеет экстремумов.
• Функция возрастает на интервале \( \left[\frac{7}{3}, \infty \right) \).

---

3. \( y = \frac{x}{x^2 - 6x - 16} \)

1. Найдем первую производную: Используем правило производной частного: \[ y' = \frac{(x^2 - 6x - 16)' \cdot x - (x)' \cdot (x^2 - 6x - 16)}{(x^2 - 6x - 16)^2}. \] Производная числителя \( (x) \): \( 1 \). Производная знаменателя \( (x^2 - 6x - 16) \): \( 2x - 6 \). Теперь: \[ y' = \frac{(2x - 6)(x) - (x^2 - 6x - 16)}{(x^2 - 6x - 16)^2}. \] Упростим числитель: \[ y' = \frac{x^2 + 16}{(x^2 - 6x - 16)^2}. \]
2. Найдем критические точки: Производная \( y' \) никогда не равна нулю, так как \( x^2 + 16 > 0 \) для всех значений \( x \). Однако нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в ноль: \[ x^2 - 6x - 16 = 0. \] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100. \] Корни: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}. \] Корни: \( x_1 = 8 \), \( x_2 = -2 \). Эти значения исключаем из области определения.
3. Определяем знаки производной: Производная положительна на всех промежутках, кроме точек разрыва \( x = -2 \) и \( x = 8 \).
• Функция не имеет экстремумов.
• Возрастает на интервалах \( (-\infty, -2), (-2, 8), (8, \infty) \).

---

4. \( y = x \ln x \)

1. Найдем первую производную: Используем правило производной произведения: \[ y' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1. \]
2. Найдем критические точки: Приравниваем производную к нулю: \[ \ln x + 1 = 0, \] \[ \ln x = -1, \] \[ x = e^{-1} = \frac{1}{e}. \]
3. Определяем знаки производной:
   • На интервале \( (0, \frac{1}{e}) \): Подставим \( x = 0.1 \): \( y' = \ln(0.1) + 1 \approx -2.3 + 1 = -1.3 \), значит \( y' < 0 \) — функция убывает.
   • На интервале \( \left(\frac{1}{e}, \infty\right) \): Подставим \( x = 1 \): \( y' = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1 \), значит \( y' > 0 \) — функция возрастает.
4. Определяем экстремумы: В \( x = \frac{1}{e} \) производная меняет знак с отрицательного на положительный, функция имеет минимум.
• Минимум в точке \( x = \frac{1}{e} \).
• Функция возрастает на интервале \( \left(\frac{1}{e}, \infty\right) \).
• Функция убывает на интервале \( \left(0, \frac{1}{e}\right) \).

Ваш запрос понят. Пожалуйста, предоставьте текст, который нужно преобразовать.