Найти экстремумы функции методом нахождения критических точек

Это задание относится к разделу "Математика" и, более конкретно, к подразделу "Математический анализ".

Мы будем искать экстремумы функции методом нахождения критических точек. Дана функция: \[ z = 2xy^2 (1 - x - y) \] Чтобы найти экстремумы функции, нам нужно найти её критические точки. Для этого необходимо найти первые частные производные функции \( z \) по \( x \) и \( y \), а затем решить систему уравнений, приравняв эти производные к нулю.

1. Вычисляем первую производную функции \( z \) по \( x \):

\[ z = 2xy^2 (1 - x - y) \]

Используя правило произведения и цепное правило:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2y^2 (1 - x - y) + 2xy^2(-1) \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2y^2 (1 - x - y) - 2xy^2 \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2y^2 - 2xy^2 - 2xy^2 \]

2. Вычисляем первую производную функции \( z \) по \( y \):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 2x \cdot 2y (1 - x - y) + 2xy^2 (-1) \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 4xy(1 - x - y) - 2xy^2 \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 4xy - 4x^2y - 4xy^2 - 2xy^2 \]

Теперь мы имеем систему уравнений:

\[ 2y^2(1 - 2x - y) = 0 \]

\[ 4xy(1 - x - \frac{3}{2}y) = 0 \]

Рассмотрим первое уравнение \( 2y^2(1 - 2x - y) = 0 \):

• \( y^2 = 0 \) или \( 1 - 2x - y = 0 \)
• \( y = 0 \) или \( 1 = 2x + y \)

Теперь рассмотрим \( y = 0 \):

Для \( y = 0 \) из второго уравнения:

\[ 4x \cdot 0 \cdot (1 - x - 0) = 0 \] Эта часть системы уравнений не даёт никакой новой информации.

Теперь рассмотрим \( 1 - 2x - y = 0 \):

Для этой части второго уравнения:

Рассмотрим \[ 4xy(1 - x - \frac{3}{2}y) = 0 \]:

• \( x = 0 \) или \( y = 0 \), но если \( x \neq 0 \):
• \( 1 - x - \frac{3}{2}y = 0 \)

Итак, \( 2x = 1 - y \), заменим \( y = 1 - 2x \):

\[ 4x(1 - 2x)(1 - x - \frac{3}{2}(1 - 2x)) = 0 \]

Упрощаем:

\( (1 - x - \frac{3}{2} + 3x) = 0 \)

\( 3x - x = 2x \)

Замены дают систему:

\[ x = 0.2, y = 1 - 2x = \frac{3}{5} \approx 0.6 \]

Мы получили точки (x, y) для \( y\neq 0 \) :

\[ x \approx 0.2, y \approx 0.6 \]

Проверим критические точки для \( y=0, y=1-2x \rightarrow z(0,\neq) \)

Следовательно, потребуется проверка второго порядка для критичности экстремума.

This is a preliminary approach.