Найти экстремумы функции

Этот вопрос относится к предмету "Математика," разделу "Математический анализ" или "Дифференциальная математика."

Для решения этой задачи мы будем искать точки экстремума функции \( z(x, y) = x^3 + y^3 - 15xy \), используя условия первого порядка (первая производная) и условия второго порядка (вторая производная).

1. Найдем частные производные функции \( z \):

• \[ z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 15y \]
• \[ z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 - 15x \]

2. Найдем критические точки, решая систему уравнений \( z_x = 0 \) и \( z_y = 0 \):

• a. Приравняем \( z_x \) к нулю:
• \[ 3x^2 - 15y = 0 \]
• \[ x^2 = 5y \]
• b. Приравняем \( z_y \) к нулю:
• \[ 3y^2 - 15x = 0 \]
• \[ y^2 = 5x \]

3. Подставим \( x^2 = 5y \) в \( y^2 = 5x \):

• \[ y = \frac{x^2}{5} \]
• \[ \left(\frac{x^2}{5}\right)^2 = 5x \]
• \[ \frac{x^4}{25} = 5x \]
• \[ x^4 = 125x \]
• Если \( x \neq 0 \), делим обе стороны на x:
• \[ x^3 = 125 \]
• \[ x = 5 \quad \text{или} \quad x = -5 \]
• Теперь найдем соответствующие значения \( y \):
• \[ y = \frac{5^2}{5} = 5 \]
• \[ y = \frac{(-5)^2}{5} = 5 \]
• Таким образом, критические точки: \((5, 5)\) и \((-5, -5)\).

4. Вторая производная и гессиан:

• \[ z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x \]
• \[ z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 6y \]
• \[ z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -15 \]
• Гессиан:
• \[ H = z_{xx}z_{yy} - (z_{xy})^2 = (6x)(6y) - (-15)^2 \]
• \[ H = 36xy - 225 \]
• Для \((5, 5)\):
• \[ H = 36 \cdot 5 \cdot 5 - 225 = 900 - 225 = 675 \, (> 0) \]
• \[ z_{xx} = 6 \cdot 5 = 30 > 0 \]
• Следовательно, \((5, 5)\) — точка минимума.
• Для \((-5, -5)\):
• \[ H = 36 \cdot (-5) \cdot (-5) - 225 = 900 - 225 = 675 \, (> 0) \]
• \[ z_{xx} = 6 \cdot (-5) = -30 < 0 \]
• Следовательно, \((-5, -5)\) — точка максимума.

Таким образом, функция \( z(x, y) = x^3 + y^3 - 15xy \) имеет минимум в точке \((5, 5)\) и максимум в точке \((-5, -5)\).