Найти экстремум функцииy=x^2-10x+5

Определим, к какому предмету и разделу относится задание.

Это задание из курса математики, а именно из раздела математического анализа или дифференциального исчисления. Для нахождения экстремума функции необходимо следовать определенным шагам:

1. Найти первую производную функции: Экстремумы функции находятся в тех точках, где первая производная функции равна нулю (или не существует). Функция задана: \( y = x^2 - 10x + 5 \). Чтобы найти первую производную, воспользуемся правилом дифференцирования: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 10x + 5) \] Дифференцируем каждый член функции: \[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] \[ \frac{d}{dx}(-10x) = -10 \] \[ \frac{d}{dx}(5) = 0 \] Сложим производные каждого члена: \[ y' = 2x - 10 \]
2. Приравнять первую производную к нулю и найти критические точки: \[ 2x - 10 = 0 \] Решим это уравнение: \[ 2x = 10 \] \[ x = 5 \] Таким образом, \( x = 5 \) является критической точкой.
3. Проверить вторую производную на знак в критической точке, чтобы определить вид экстремума: Для этого найдем вторую производную функции: Первая производная у нас: \( y' = 2x - 10 \) Вторая производная будет: \[ y'' = \frac{d}{dx}(2x - 10) = 2 \] Заметим, что вторая производная постоянна и равна 2. Это положительное число, значит, функция \( y = x^2 - 10x + 5 \) имеет минимум в точке \( x = 5 \).
4. Найти значение функции в критической точке: Подставим \( x = 5 \) в исходную функцию: \[ y = 5^2 - 10 \cdot 5 + 5 \] \[ y = 25 - 50 + 5 \] \[ y = -20 \] Итак, экстремум функции \( y = x^2 - 10x + 5 \) — это минимум в точке \( x = 5 \) с значением функции \( y = -20 \).