Условие:
найти экстремум функции f(x)=x1^2+6x2^3+4x1x2
Решение:
Чтобы найти экстремум функции \( f(x) = x_1^2 + 6x_2^3 + 4x_1 x_2 \), нам нужно в первую очередь найти частные производные функции по каждой переменной и найти критические точки. Это задача из области математического анализа, конкретно связанная с нахождением экстремумов функций нескольких переменных.
Шаг 1: Найти частные производные функции
Функция \( f(x) \) зависит от двух переменных \( x_1 \) и \( x_2 \):
\[ f(x_1, x_2) = x_1^2 + 6x_2^3 + 4x_1 x_2 \]
Частная производная по \( x_1 \):
\[ \frac{\partial f}{\partial x_1} = 2x_1 + 4x_2 \]
Частная производная по \( x_2 \):
\[ \frac{\partial f}{\partial x_2} = 18x_2^2 + 4x_1 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Для нахождения критических точек нам нужно решить систему уравнений, где частные производные равны нулю:
\[ \begin{cases} 2x_1 + 4x_2 = 0 \\ 18x_2^2 + 4x_1 = 0 \end{cases} \]
Решим первое уравнение для \( x_1 \):
\[ 2x_1 + 4x_2 = 0 \implies x_1 = -2x_2 \]
Подставим это выражение для \( x_1 \) во второе уравнение:
\[ 18x_2^2 + 4(-2x_2) = 0 \]
\[ 18x_2^2 - 8x_2 = 0 \]
\[ 2x_2(9x_2 - 4) = 0 \]
Отсюда \( x_2 = 0 \) или \( 9x_2 - 4 = 0 \implies x_2 = \frac{4}{9} \)
Для \( x_2 = 0 \):
\[ x_1 = -2(0) = 0 \]
Критическая точка: \( (x_1, x_2) = (0, 0) \)
Для \( x_2 = \frac{4}{9} \):
\[ x_1 = -2 \left(\frac{4}{9}\right) = -\frac{8}{9} \]
Критическая точка: \( (x_1, x_2) = \left(-\frac{8/9}, \frac{4/9}\right) \)
Шаг 3: Классификация критических точек
Теперь нам нужно определить, являются ли найденные критические точки локальными минимумами, максимумами или седловыми точками. Для этого используем матрицу Гессе (матрицу вторых производных). Матрица Гессе \( H \) для функции \( f \) имеет элементы:
\[ H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} \end{bmatrix} \]
Вычислим вторые частные производные:
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} = 2 \]
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} = 4 \]
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} = 4 \]
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} = 36x_2 \]
Матрица Гессе:
\[ H = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 36x_2 \end{bmatrix} \]
Рассмотрим каждую критическую точку отдельно:
1. Для точки \( (0, 0) \):
\[ H = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \]
Вычислим определитель матрицы Гессе:
\[ \text{det}(H) = 2 \cdot 0 - 4 \cdot 4 = -16 \]
Определитель меньше нуля, следовательно, точка \( (0, 0) \) является седловой точкой.
2. Для точки \(-\frac{8/9}, \frac{4/9}\):
\[ H = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 36 \cdot \frac{4}{9} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 16 \end{bmatrix} \]
Вычислим определитель матрицы Гессе:
\[ \text{det}(H) = 2 \cdot 16 - 4 \cdot 4 = 32 - 16 = 16 \]
Определитель больше нуля, и \( \text{H}_{11} = 2 > 0 \), следовательно, точка \(\left(-\frac{8/9}, \frac{4/9}\right)\) является локальным минимумом.
Итак, экстремумы функции \( f(x) = x_1^2 + 6x_2^3 + 4x_1 x_2 \) следующие:
- Точка \( (0, 0) \) — седловая точка.
- Точка \(\left(-\frac{8/9}, \frac{4/9}\right)\) — локальный минимум.