Найти экстремум функции двух переменных

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Экстремумы функций нескольких переменных)

Для нахождения экстремума функции двух переменных ( z = -x^2 + xy - y^2 + x - 2y ), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти частные производные функции

Частные производные по ( x ) и ( y ):  \frac{\partial z}{\partial x} = -2x + y + 1   \frac{\partial z}{\partial y} = x - 2y - 2 

2. Приравнять частные производные к нулю

Решим систему уравнений:  \begin{cases} -2x + y + 1 = 0, \ x - 2y - 2 = 0. \end{cases} 

Решим первое уравнение для ( y ):  y = 2x - 1. 

Подставим ( y = 2x - 1 ) во второе уравнение:  x - 2(2x - 1) - 2 = 0,   x - 4x + 2 - 2 = 0,   -3x = 0 \implies x = 0. 

Теперь найдём ( y ):  y = 2(0) - 1 = -1. 

Критическая точка: ( (x, y) = (0, -1) ).

3. Проверить тип критической точки

Для проверки типа критической точки используем второй дифференциал (матрицу Гессе). Найдём вторые частные производные:  \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -2, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -2, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 1. 

Матрица Гессе:  H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ 1 & -2 \end{pmatrix}. 

Вычислим определители:

• Первый минор:  \Delta_1 = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -2. 
• Определитель матрицы Гессе:  \Delta_2 = \det(H) = (-2)(-2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3. 

Так как ( \Delta_2 > 0 ) и ( \Delta_1 < 0 ), критическая точка ( (0, -1) ) является точкой максимума.

Ответ:

Функция достигает максимума в точке ( (x, y) = (0, -1) ).