Найти экстремум функции

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Исследование функции на экстремум)

Дана функция:

z = (2x^2 + y^2)e^{-(x^2 + y^2)}.

Необходимо найти экстремумы функции, то есть точки, в которых функция достигает локального минимума, максимума или седловой точки.

Шаг 1: Условия экстремума

Для нахождения экстремумов необходимо найти частные производные функции по переменным (x) и (y) и приравнять их к нулю.

Обозначим:

f(x, y) = (2x^2 + y^2)e^{-(x^2 + y^2)}.

Шаг 2: Частные производные

1. Частная производная по (x):

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ (2x^2 + y^2)e^{-(x^2 + y^2)} \right]. 

Применим правило производной произведения:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial (2x^2 + y^2)}{\partial x} \cdot e^{-(x^2 + y^2)} + (2x^2 + y^2) \cdot \frac{\partial e^{-(x^2 + y^2)}}{\partial x}. 

• Производная (2x^2 + y^2) по (x):

\frac{\partial (2x^2 + y^2)}{\partial x} = 4x.

• Производная экспоненты (e^{-(x^2 + y^2)}) по (x):

\frac{\partial e^{-(x^2 + y^2)}}{\partial x} = e^{-(x^2 + y^2)} \cdot (-2x).

Подставляем:

 \frac{\partial z}{\partial x} = 4x \cdot e^{-(x^2 + y^2)} - 2x(2x^2 + y^2)e^{-(x^2 + y^2)}. 

Вынесем общий множитель:

 \frac{\partial z}{\partial x} = e^{-(x^2 + y^2)} \cdot \left[ 4x - 2x(2x^2 + y^2) \right]. 

Упростим выражение в скобках:

 \frac{\partial z}{\partial x} = e^{-(x^2 + y^2)} \cdot \left[ 4x - 4x^3 - 2xy^2 \right]. 

 \frac{\partial z}{\partial x} = e^{-(x^2 + y^2)} \cdot 2x \left[ 2 - 2x^2 - y^2 \right]. 

2. Частная производная по (y):

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left[ (2x^2 + y^2)e^{-(x^2 + y^2)} \right]. 

Применим аналогичное правило:

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial (2x^2 + y^2)}{\partial y} \cdot e^{-(x^2 + y^2)} + (2x^2 + y^2) \cdot \frac{\partial e^{-(x^2 + y^2)}}{\partial y}. 

• Производная (2x^2 + y^2) по (y):

\frac{\partial (2x^2 + y^2)}{\partial y} = 2y.

• Производная экспоненты (e^{-(x^2 + y^2)}) по (y):

\frac{\partial e^{-(x^2 + y^2)}}{\partial y} = e^{-(x^2 + y^2)} \cdot (-2y).

Подставляем:

 \frac{\partial z}{\partial y} = 2y \cdot e^{-(x^2 + y^2)} - 2y(2x^2 + y^2)e^{-(x^2 + y^2)}. 

Вынесем общий множитель:

 \frac{\partial z}{\partial y} = e^{-(x^2 + y^2)} \cdot \left[ 2y - 2y(2x^2 + y^2) \right]. 

Упростим выражение в скобках:

 \frac{\partial z}{\partial y} = e^{-(x^2 + y^2)} \cdot 2y \left[ 1 - 2x^2 - y^2 \right]. 

Шаг 3: Уравнения стационарных точек

Для нахождения стационарных точек приравняем производные к нулю:

1. \frac{\partial z}{\partial x} = 0:

 e^{-(x^2 + y^2)} \cdot 2x \left[ 2 - 2x^2 - y^2 \right] = 0. 

Так как экспонента не равна нулю, то:

 2x = 0 \quad \text{или} \quad 2 - 2x^2 - y^2 = 0. 

2. \frac{\partial z}{\partial y} = 0:

 e^{-(x^2 + y^2)} \cdot 2y \left[ 1 - 2x^2 - y^2 \right] = 0. 

Аналогично, экспонента не равна нулю, значит:

 2y = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 2x^2 - y^2 = 0. 

Шаг 4: Решение системы уравнений

1. Рассмотрим случай (x = 0) и (y = 0). Подставляем в функцию:

 z(0, 0) = (2 \cdot 0^2 + 0^2)e^{-(0^2 + 0^2)} = 0. 

2. Рассмотрим случай (2 - 2x^2 - y^2 = 0) и (1 - 2x^2 - y^2 = 0). Решая систему:

 y^2 = 0, \quad x^2 = \frac{1}{2}. 

Значит, точки:

(x, y) = \left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right).

Шаг 5: Классификация точек

Для классификации точек исследуем вторые производные и определитель Гессиана.