Найти экстремали , которые удовлетворяют указанным предельным условиям

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — вариационное исчисление

Нам дан функционал:

 I[y] = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \left( y^2 \cos x + 2y y' \sin x \right) dx 

с граничными условиями:

 y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1,\quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2. 

Найти экстремали этого функционала — значит найти такие функции y(x), которые делают этот функционал стационарным (экстремумом). Для этого воспользуемся уравнением Эйлера–Лагранжа.

Шаг 1: Построение лагранжиана

Положим:

 L(x, y, y') = y^2 \cos x + 2y y' \sin x 

Шаг 2: Применим уравнение Эйлера–Лагранжа

Уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид:

 \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right) = 0 

Вычислим частные производные:

1. \frac{\partial L}{\partial y} = 2y \cos x + 2y' \sin x
2. \frac{\partial L}{\partial y'} = 2y \sin x
3. \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right) = \frac{d}{dx}(2y \sin x) = 2y' \sin x + 2y \cos x

Подставим в уравнение Эйлера–Лагранжа:

 (2y \cos x + 2y' \sin x) - (2y' \sin x + 2y \cos x) = 0 

Получаем:

 0 = 0 

Вывод:

Уравнение Эйлера–Лагранжа тождественно выполнено для любых y(x). Это означает, что все дифференцируемые функции, удовлетворяющие граничным условиям:

 y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1,\quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 

будут экстремалями данного функционала.

Пример:

Можно взять, например, линейную функцию:

 y(x) = a x + b 

Подставим граничные условия:

1. y\left(\frac{\pi}{6}\right) = a \cdot \frac{\pi}{6} + b = 1
2. y\left(\frac{\pi}{2}\right) = a \cdot \frac{\pi}{2} + b = 2

Решим систему:

 \begin{cases} \frac{a\pi}{6} + b = 1 \ \frac{a\pi}{2} + b = 2 \end{cases} 

Вычтем первое уравнение из второго:

 \left(\frac{a\pi}{2} - \frac{a\pi}{6}\right) = 1 \Rightarrow \frac{a\pi}{3} = 1 \Rightarrow a = \frac{3}{\pi} 

Подставим a в первое уравнение:

 \frac{3}{\pi} \cdot \frac{\pi}{6} + b = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + b = 1 \Rightarrow b = \frac{1}{2} 

Значит, одна из экстремалей — это функция:

 y(x) = \frac{3}{\pi}x + \frac{1}{2} 

Ответ:

Экстремалями являются все дифференцируемые функции, удовлетворяющие граничным условиям.
Пример экстремали:
 y(x) = \frac{3}{\pi}x + \frac{1}{2}