Найти длину кривой, заданной уравнением. Предпочтителен численный метод

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, длина кривой

Длина кривой, заданной уравнением x^4 + y^4 = x^2 y, на заданном интервале -0.5 \leq y \leq 0.5 можно вычислить с помощью интеграла длины дуги:

 L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^2} \, dy 

Где \frac{dx}{dy} — производная x по y. Поскольку уравнение задано неявно, аналитическое выражение x(y) найти сложно, поэтому применим численный метод.

Метод решения:

1. Выразим x в явном виде из уравнения x^4 + y^4 = x^2 y. Это возможно численно.
2. Найдем производную \frac{dx}{dy} численно (метод конечных разностей).
3. Интегрируем численно (метод Симпсона или трапеций).

Для численного решения используем Python:

import numpy as np
import scipy.integrate as spi
from scipy.optimize import fsolve

# Определим уравнение x^4 + y^4 = x^2 y
def equation(x, y):
    return x**4 + y**4 - x**2 * y

# Найдем x(y) численно
def find_x(y):
    x_initial_guess = 0.5  # начальное приближение
    x_solution = fsolve(equation, x_initial_guess, args=(y,))
    return x_solution[0]

# Численно вычисляем производную dx/dy
def derivative_x(y_values):
    x_values = np.array([find_x(y) for y in y_values])
    dx_dy = np.gradient(x_values, y_values)
    return dx_dy

# Определяем функцию подынтегрального выражения
def integrand(y):
    dx_dy = derivative_x([y])[0]
    return np.sqrt(1 + dx_dy**2)

# Задаем пределы интегрирования
y_min, y_max = -0.5, 0.5

# Численное интегрирование
L, error = spi.quad(integrand, y_min, y_max)

print(f"Длина кривой: {L:.5f}")

Этот код:

• Численно решает уравнение для x при каждом y.
• Вычисляет производную \frac{dx}{dy} методом конечных разностей.
• Интегрирует численно по y методом квадратур.

Результат даст приближенное значение длины кривой.