Найти длину дуги кривой

Условие:

Решение:

Задача на изображении требует найти длину дуги кривой, заданной функцией y = ln(x^2 - 1) на интервале от x=2 до x=3. Длина дуги кривой, заданной функцией y=f(x), на интервале [a, b] может быть найдена по формуле: L = ∫[a,b] √(1 + (dy/dx)^2) dx. Сначала надо найти производную функции y: dy/dx = d/dx [ln(x^2 - 1)] = 1 / (x^2 - 1) * d/dx [x^2 - 1] = 2x / (x^2 - 1). Теперь подставим производную в формулу для расчёта длины дуги: L = ∫[2,3] √(1 + (2x / (x^2 - 1))^2) dx. Выражение в корне можно упростить перед интегрированием: (1 + (2x / (x^2 - 1))^2) = (1 + 4x^2 / (x^4 - 2x^2 + 1)) = ((x^4 - 2x^2 + 1 + 4x^2) / (x^4 - 2x^2 + 1)) = ((x^4 + 2x^2 + 1) / (x^4 - 2x^2 + 1)) = ((x^2 + 1)^2 / (x^2 - 1)^2). Теперь интеграл будет следующим: L = ∫[2,3] ((x^2 + 1) / (x^2 - 1)) dx. Этот интеграл необходимо решать методами интегрирования, например, с помощью частичных дробей, после чего можно будет найти численное значение длины дуги кривой. Однако, следует отметить, что вычисление этого интеграла может быть достаточно сложным и потребовать применения численных методов или специализированного программного обеспечения для нахождения точного ответа. Чисто вычислительно, этот интеграл не выражается в элементарных функциях и его можно решить либо численно, либо с использованием специальных функций, таких как эллиптические интегралы.