Найти длину дуги этой кривой

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, дифференциальное исчисление кривых (длина дуги кривой)

Дана кривая: \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}

Нужно найти длину дуги этой кривой.

Шаг 1. Выразим y через x

Перепишем уравнение:

\sqrt{y} = \sqrt{a} - \sqrt{x}

Возведём в квадрат обе части:

y = (\sqrt{a} - \sqrt{x})^2 = a - 2\sqrt{a}\sqrt{x} + x

Шаг 2. Найдём производную y'(x)

y'(x) = \frac{d}{dx} \left(a - 2\sqrt{a}\sqrt{x} + x\right) = 0 - 2\sqrt{a} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}

Шаг 3. Формула длины дуги кривой

Длина дуги кривой от x=0 до x=a (так как при x=a, y=0) вычисляется по формуле:

L = \int_0^a \sqrt{1 + (y'(x))^2} \, dx

Подставим y'(x):

L = \int_0^a \sqrt{1 + \left(1 - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}\right)^2} \, dx

Раскроем скобки:

1 + \left(1 - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}\right)^2 = 1 + 1 - 2\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} + \frac{a}{x} = 2 - 2\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} + \frac{a}{x}

Шаг 4. Упростим подкоренное выражение

Запишем подкоренное выражение в виде дроби:

2 - 2 \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} + \frac{a}{x} = \frac{2x - 2\sqrt{a} \sqrt{x} + a}{x}

Обозначим t = \sqrt{x}, тогда x = t^2 и dx = 2t dt.

Подкоренное выражение в числителе:

2 t^2 - 2 \sqrt{a} t + a = ( \sqrt{a} - t )^2 + t^2

Проверим:

(\sqrt{a} - t)^2 + t^2 = a - 2 \sqrt{a} t + t^2 + t^2 = a - 2 \sqrt{a} t + 2 t^2

Это совпадает с числителем.

Шаг 5. Перепишем интеграл через переменную t

L = \int_0^{\sqrt{a}} \sqrt{\frac{a - 2 \sqrt{a} t + 2 t^2}{t^2}} \cdot 2 t dt = \int_0^{\sqrt{a}} \frac{\sqrt{a - 2 \sqrt{a} t + 2 t^2}}{t} \cdot 2 t dt = 2 \int_0^{\sqrt{a}} \sqrt{a - 2 \sqrt{a} t + 2 t^2} \, dt

Шаг 6. Упростим подкоренное выражение

a - 2 \sqrt{a} t + 2 t^2 = 2 \left( t^2 - \sqrt{a} t + \frac{a}{2} \right)

Дополним квадрат:

t^2 - \sqrt{a} t + \frac{a}{2} = \left(t - \frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2 + \frac{a}{2} - \frac{a}{4} = \left(t - \frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2 + \frac{a}{4}

Тогда:

\sqrt{a - 2 \sqrt{a} t + 2 t^2} = \sqrt{2} \sqrt{\left(t - \frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2 + \frac{a}{4}}

Шаг 7. Итоговый интеграл

L = 2 \int_0^{\sqrt{a}} \sqrt{2} \sqrt{\left(t - \frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2 + \frac{a}{4}} \, dt = 2 \sqrt{2} \int_0^{\sqrt{a}} \sqrt{\left(t - \frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2} \, dt

Шаг 8. Интегрирование

Пусть u = t - \frac{\sqrt{a}}{2}, тогда при t=0, u = -\frac{\sqrt{a}}{2}, при t=\sqrt{a}, u = \frac{\sqrt{a}}{2}.

Интеграл принимает вид:

I = \int_{-\frac{\sqrt{a}}{2}}^{\frac{\sqrt{a}}{2}} \sqrt{u^2 + \left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2} \, du

Шаг 9. Формула интеграла

Известно, что

\int \sqrt{u^2 + b^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{u^2 + b^2} + \frac{b^2}{2} \ln\left| u + \sqrt{u^2 + b^2} \right| + C

где b = \frac{\sqrt{a}}{2}.

Шаг 10. Вычислим определённый интеграл

Обозначим

F(u) = \frac{u}{2} \sqrt{u^2 + b^2} + \frac{b^2}{2} \ln\left| u + \sqrt{u^2 + b^2} \right|

Тогда

I = F\left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right) - F\left(-\frac{\sqrt{a}}{2}\right)

Шаг 11. Подставим пределы

Так как подкоренное выражение и логарифм чётные функции, то

F\left(-\frac{\sqrt{a}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{a}}{4} \sqrt{\left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2 + b^2} + \frac{b^2}{2} \ln\left| -\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2 + b^2} \right|

Но b^2 = \frac{a}{4} и подкоренное выражение:

\left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2 + b^2 = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = \frac{a}{2}

Тогда

F\left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right) = \frac{\sqrt{a}}{4} \sqrt{\frac{a}{2}} + \frac{a}{8} \ln\left(\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\frac{a}{2}}\right)

F\left(-\frac{\sqrt{a}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{a}}{4} \sqrt{\frac{a}{2}} + \frac{a}{8} \ln\left(-\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\frac{a}{2}}\right)

Шаг 12. Разность

I = \frac{\sqrt{a}}{4} \sqrt{\frac{a}{2}} + \frac{a}{8} \ln\left(\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\frac{a}{2}}\right) - \left(-\frac{\sqrt{a}}{4} \sqrt{\frac{a}{2}} + \frac{a}{8} \ln\left(-\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\frac{a}{2}}\right)\right)

I = \frac{\sqrt{a}}{2} \sqrt{\frac{a}{2}} + \frac{a}{8} \left[ \ln\left(\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\frac{a}{2}}\right) - \ln\left(-\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\frac{a}{2}}\right) \right]

I = \frac{a}{2\sqrt{2}} + \frac{a}{8} \ln \frac{\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\frac{a}{2}}}{-\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\frac{a}{2}}}

Шаг 13. Упростим логарифм

В числителе и знаменателе вынесем \sqrt{\frac{a}{2}}:

\frac{\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\frac{a}{2}}}{-\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\frac{a}{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\frac{a}{2}}}{\sqrt{\frac{a}{2}} - \frac{\sqrt{a}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{\frac{a}{2}}}{\sqrt{\frac{a}{2}} - \frac{\sqrt{a}}{2}}

Подставим числовые значения:

\frac{\sqrt{a}/2 + \sqrt{a/2}}{\sqrt{a/2} - \sqrt{a}/2} = \frac{\sqrt{a} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{\sqrt{a} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \right)} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}}

Шаг 14. Итоговый ответ

Длина дуги:

L = 2 \sqrt{2} \cdot I = 2 \sqrt{2} \left( \frac{a}{2 \sqrt{2}} + \frac{a}{8} \ln \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}} \right) = a + \frac{a \sqrt{2}}{4} \ln \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}} 

Таким образом,

 \boxed{ L = a + \frac{a \sqrt{2}}{4} \ln \left( \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}} \right) } 

Это длина дуги кривой \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} от x=0 до x=a.