Найти дисконтированный доход за 4 года при процентной ставке 20%

Предмет: Математика
Раздел предмета: Математический анализ — Определённые интегралы, интегрирование по частям, дисконтирование

Условие задачи:

Найти дисконтированный доход за 4 года при процентной ставке 20%, если функция увеличения капитальных вложений задана как:

f(t) = t + 2
Процентная ставка: 20% ⇒ r = 0{,}2
Время: T = 4
Дано: e^{-0{,}8} \approx 0{,}4493

Теория:

Дисконтированный доход вычисляется по формуле:

 D = \int_0^T f(t) \cdot e^{-rt} \, dt 

Где:

• f(t) — функция дохода/капиталовложений,
• r — ставка дисконтирования,
• T — период времени.

Подстановка данных:

 D = \int_0^4 (t + 2) \cdot e^{-0{,}2t} \, dt 

Это интеграл вида \int u \cdot v' \, dt, применим метод интегрирования по частям:

 \int u \, dv = uv - \int v \, du 

Шаг 1: Разделим на множители

Пусть:

• u = t + 2 ⇒ du = dt
• dv = e^{-0{,}2t} dt ⇒ проинтегрируем:

 v = \int e^{-0{,}2t} dt = \frac{e^{-0{,}2t}}{-0{,}2} = -5e^{-0{,}2t} 

Шаг 2: Применим формулу интегрирования по частям

 \int_0^4 (t + 2)e^{-0{,}2t} dt = \left. (t + 2)(-5e^{-0{,}2t}) \right|_0^4 - \int_0^4 (-5e^{-0{,}2t}) dt 

Вычислим первую часть:

 \left. -5(t + 2)e^{-0{,}2t} \right|_0^4 = -5(6)e^{-0{,}8} + 5(2)e^{0} = -30e^{-0{,}8} + 10 

Теперь вычислим второй интеграл:

 \int_0^4 (-5e^{-0{,}2t}) dt = -5 \cdot \int_0^4 e^{-0{,}2t} dt = -5 \cdot \left[ \frac{e^{-0{,}2t}}{-0{,}2} \right]_0^4 = -5 \cdot \left[ \frac{-1}{0{,}2}(e^{-0{,}8} - 1) \right] 

 = -5 \cdot (-5)(e^{-0{,}8} - 1) = 25(1 - e^{-0{,}8}) 

Шаг 3: Соберем всё вместе

 D = -30e^{-0{,}8} + 10 + 25(1 - e^{-0{,}8}) = 10 + 25 - (30 + 25)e^{-0{,}8} 

 D = 35 - 55e^{-0{,}8} 

Подставим e^{-0{,}8} \approx 0{,}4493:

 D \approx 35 - 55 \cdot 0{,}4493 = 35 - 24{,}7115 = 10{,}2885 

✅ Ответ:

D \approx 10{,}29 (единиц капитала)

Если нужно, могу оформить это в виде отчета или пояснений для учебника.