Найти дифференциалы второго порядка и применить методы, связанные с производными

Этот пример относится к дисциплине математический анализ, а именно к разделу дифференцирование, так как нужно найти дифференциалы второго порядка и применить методы, связанные с производными.

Задание 49. Найти дифференциалы второго порядка функций:

1) \( y = \sin(x + 1) \)

Для начала находим первую производную:

\[ y' = \cos(x+1) \]

Теперь находим вторую производную:

\[ y'' = -\sin(x+1) \]

Следовательно, дифференциал второго порядка:

\[ d^2 y = y'' dx^2 = -\sin(x+1) dx^2 \]

---

2) \( y = \tg 2x \)

Сначала вычислим первую производную:

\[ y' = \frac{d}{dx} (\tg 2x) = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} = \frac{2}{\cos^2(2x)} \]

Теперь вторую производную:

\[ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{\cos^2(2x)} \right) = \frac{4 \cdot \sin(2x)}{\cos^3(2x)} \]

Следовательно, дифференциал второго порядка:

\[ d^2 y = y'' dx^2 = \frac{4 \cdot \sin(2x)}{\cos^3(2x)} dx^2 \]

---

3) \( y = \ln (\cos x) \)

Находим первую производную:

\[ y' = \frac{d}{dx} (\ln (\cos x)) = -\tg x \]

Теперь вторую производную:

\[ y'' = \frac{d}{dx} (-\tg x) = -\frac{1}{\cos^2 x} \]

Следовательно, дифференциал второго порядка:

\[ d^2y = y''dx^2 = -\frac{1}{\cos^2 x} dx^2 \]

---

Задание 50. Приблизительное вычисление с помощью дифференциала:

Используем формулу для аппроксимации с помощью первого дифференциала:

\[ f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x \]

1) \( \arcsin 0{,}51 \)

Выразим функцию:

\[ f(x) = \arcsin x, \quad f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]

Так как \( \arcsin(0{,}5) \) известно – это \( \frac{\pi}{6} \approx 0{,}5236 \), то:

\[ \Delta x = 0{,}51 - 0{,}5 = 0{,}01 \]

А производная в точке \( x_0 = 0{,}5 \):

\[ f'(0{,}5) = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}25}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}75}} \approx 1{,}1547 \]

Приближение даётся формулой:

\[ f(0{,}51) \approx f(0{,}5) + f'(0{,}5)\cdot 0{,}01 \approx 0{,}5236 + 1{,}1547 \cdot 0{,}01 = 0{,}5236 + 0{,}0115 = 0{,}5351 \]

---

2) \( \sqrt[4]{15{,}8} \)

У нас имеется функция \( f(x) = x^{1/4} \), её производная \( f'(x) = \frac{1}{4}x^{-3/4} \). Возьмём приближение \( x_0 = 16 \), тогда \( \Delta x = 15{,}8 - 16 = -0{,}2 \), а также:

\[ f(16) = 2, \quad f'(16) = \frac{1}{4 \cdot 16^{3/4}} = \frac{1}{4 \cdot 8} = \frac{1}{32} = 0{,}03125 \]

Теперь находим приближение:

\[ f(15{,}8) \approx 2 + 0{,}03125\cdot(-0{,}2) \approx 2 - 0{,}00625 = 1{,}99375 \]

---

3) \( \tg 44^\circ \)

Известно, что \( \tg 45^\circ = 1 \). Пусть \( f(x) = \tg x \), следовательно, \( f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \). Возьмём \( x_0 = 45^\circ \), тогда \( \Delta x = -1^\circ \). \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), следовательно:

\[ f'(45^\circ) = \frac{1}{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2} = 2 \]

Теперь приблизим:

\[ f(44^\circ) \approx 1 + 2 \cdot (-1^\circ) = 1 - 0{,}0349 = 0{,}9651 \]

---

Задание 51. Написать уравнения касательной и нормали:

1) \( y = e^x \), \( x_0 = 0 \)

Найдём производную:

\[ y' = e^x, \quad y'(0) = e^0 = 1 \]

Уравнение касательной:

\[ y - y_0 = y'(0)(x - 0), \quad y_0 = e^0 = 1 \]

\[ y - 1 = 1 \cdot (x - 0) \Rightarrow y = x + 1 \]

Уравнение нормали:

\[ y - 1 = -\frac{1}{1}(x - 0) \Rightarrow y = -x + 1 \]

Угол наклона касательной к оси \( Ox \) = \( \theta = 45^\circ \).

---

2) \( y = x^2 - 2x + 1 \), \( x_0 = 1 \)

Найдём производную:

\[ y' = 2x - 2, \quad y'(1) = 2(1) - 2 = 0 \]

Касательная в точке \( x_0 = 1 \):

\[ y - 0 = 0 \cdot (x - 1) \Rightarrow y = 0 \]

Нормаль:

\[ y - 0 = -\frac{1}{0}(x - 1) \quad (нормаль неопределена, так как касательная горизонтальна). \]