Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти дифференциалы второго порядка для функций. Вычислить приближённо с помощью дифференциала
Условие:
Решить
Решение:
Данное задание относится к курсу "Математика", предмету "Математический анализ", разделу "Дифференциальное исчисление".
Задание 49. Найти дифференциалы второго порядка для функций.
1. \( y = \sin(x+1) \) Находим первый дифференциал, то есть первую производную: \[ \frac{dy}{dx} = \cos(x+1). \] Теперь находим второй дифференциал, то есть производную от \( \cos(x+1) \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = -\sin(x+1). \] 2. \( y = \tg 2x \) Первый дифференциал (первая производная): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\cos^2 2x}. \] Теперь находим второй дифференциал: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4 \sin 2x}{\cos^3 2x}. \] 3. \( y = \ln(\cos x) \) Первый дифференциал (первая производная): \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tg x. \] Теперь находим производную от \( -\tg x \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{\cos^2 x}. \]Задание 50. Вычислить приближённо с помощью дифференциала:
1) \( \arcsin 0.51 \). Пусть \( f(x) = \arcsin x \). Рассмотрим приближенное значение около \( x_0 = 0.5 \). Производная \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \). Подставляем \( x_0 = 0.5 \): \[ f'(x_0) = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.5^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.75}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547. \] Теперь вычисляем приближение: \[ f(x) \approx f(0.5) + f'(0.5)(x - 0.5). \] \[ f(0.5) = \arcsin 0.5 = \frac{\pi}{6}. \] Подставляем \( x = 0.51 \): \[ f(0.51) \approx \frac{\pi}{6} + 1.1547 \cdot (0.51 - 0.5) \approx 0.5236 + 1.1547 \cdot 0.01 \approx 0.5236 + 0.0115 \approx 0.5351. \] 2) \( \sqrt[4]{15.8} \). Пусть \( f(x) = \sqrt[4]{x} = x^{1/4} \), будем приближаться вокруг точки \( x_0 = 16 \). Производная: \[ f'(x) = \frac{1}{4}x^{-3/4}. \] Подставляем \( x_0 = 16 \): \[ f'(16) = \frac{1}{4} \cdot 16^{-3/4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{32}. \] Теперь вычисляем приближение: \[ f(x) \approx f(16) + f'(16)(x - 16). \] \[ f(16) = \sqrt[4]{16} = 2. \] Подставляем \( x = 15.8 \): \[ f(15.8) \approx 2 + \frac{1}{32} \cdot (15.8 - 16) = 2 - \frac{1}{32} \cdot 0.2 \approx 2 - 0.00625 = 1.99375. \] 3) \( \tg 44^\circ \). Для этой задачи возьмём функцию \( f(x) = \tg x \) и будем приближаться вокруг \( x_0 = 45^\circ \). Производная: \[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}. \] Подставляем \( x_0 = 45^\circ \): \[ f'(45^\circ) = \frac{1}{\cos^2 45^\circ} = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = 2. \] Теперь приближенное значение: \[ f(x) \approx f(45^\circ) + f'(45^\circ)(x - 45^\circ). \] \[ f(45^\circ) = 1. \] Подставляем \( x = 44^\circ \): \[ f(44^\circ) \approx 1 + 2 \cdot (44 - 45) = 1 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = 0.98. \] Ответ: 1) \( f(0.51) \approx 0.5351 \), 2) \( \sqrt[4]{15.8} \approx 1.99375 \), 3) \( \tg 44^\circ \approx 0.98 \).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку