Найти дифференциалы второго порядка для функций. Вычислить приближённо с помощью дифференциала

Главная
Высшая математика
Математический анализ
Найти дифференциалы второго порядка для функций. Вычислить приближённо с помощью дифференциала

Решить

Условие: Решить

\(y = \sin (x + 1) \)

Находим первый дифференциал, то есть первую производную:

\[\frac{d y}{d x} = \cos (x + 1) . \]

Теперь находим второй дифференциал, то есть производную от

\(\cos (x + 1) \)

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \sin (x + 1) . \]

\(y = \tg 2 x \)

Первый дифференциал (первая производная):

\[\frac{d y}{d x} = \frac{2}{\cos^{2} 2 x} . \]

Теперь находим второй дифференциал:

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 \sin 2 x}{\cos^{3} 2 x} . \]

\(y = \ln (\cos x) \)

Первый дифференциал (первая производная):

\[\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin x}{\cos x} = - \tg x . \]

Теперь находим производную от

\(- \tg x \)

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{\cos^{2} x} . \]

\(\arcsin 0.51 \)

. Пусть

\(f (x) = \arcsin x \)

. Рассмотрим приближенное значение около

\(x_{0} = 0.5 \)

. Производная

\(f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \)

. Подставляем

\(x_{0} = 0.5 \)

\[f^{'} (x_{0}) = \frac{1}{\sqrt{1 - {0.5}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{0.75}} = \frac{1}{\sqrt{3} / 2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547 . \]

Теперь вычисляем приближение:

\[f (x) \approx f (0.5) + f^{'} (0.5) (x - 0.5) . \]

\[f (0.5) = \arcsin 0.5 = \frac{π}{6} . \]

Подставляем

\(x = 0.51 \)

\[f (0.51) \approx \frac{π}{6} + 1.1547 \cdot (0.51 - 0.5) \approx 0.5236 + 1.1547 \cdot 0.01 \approx 0.5236 + 0.0115 \approx 0.5351 . \]

\(\sqrt[4]{15.8} \)

. Пусть

\(f (x) = \sqrt[4]{x} = x^{1 / 4} \)

, будем приближаться вокруг точки

\(x_{0} = 16 \)

. Производная:

\[f^{'} (x) = \frac{1}{4} x^{- 3 / 4} . \]

Подставляем

\(x_{0} = 16 \)

\[f^{'} (16) = \frac{1}{4} \cdot 16^{- 3 / 4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{32} . \]

Теперь вычисляем приближение:

\[f (x) \approx f (16) + f^{'} (16) (x - 16) . \]

\[f (16) = \sqrt[4]{16} = 2. \]

Подставляем

\(x = 15.8 \)

\[f (15.8) \approx 2 + \frac{1}{32} \cdot (15.8 - 16) = 2 - \frac{1}{32} \cdot 0.2 \approx 2 - 0.00625 = 1.99375 . \]

\(\tg 44^{\circ} \)

. Для этой задачи возьмём функцию

\(f (x) = \tg x \)

и будем приближаться вокруг

\(x_{0} = 45^{\circ} \)

. Производная:

\[f^{'} (x) = \frac{1}{\cos^{2} x} . \]

Подставляем

\(x_{0} = 45^{\circ} \)

\[f^{'} (45^{\circ}) = \frac{1}{\cos^{2} 45^{\circ}} = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} = 2. \]

Теперь приближенное значение:

\[f (x) \approx f (45^{\circ}) + f^{'} (45^{\circ}) (x - 45^{\circ}) . \]

\[f (45^{\circ}) = 1. \]

Подставляем

\(x = 44^{\circ} \)

\[f (44^{\circ}) \approx 1 + 2 \cdot (44 - 45) = 1 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = 0.98 . \]

Ответ: 1)

\(f (0.51) \approx 0.5351 \)

, 2)

\(\sqrt[4]{15.8} \approx 1.99375 \)

, 3)

\(\tg 44^{\circ} \approx 0.98 \)

Время — это деньги!