Найти число, при делении на которое чисел 848, 1420 и 2005 получается одинаковый остаток

Данный вопрос относится к математике, конкретно к разделу теории чисел, понятиям остатков и делимости.

Задание: Найти число, при делении на которое чисел 848, 1420 и 2005 получается одинаковый остаток. Рассмотрим пошаговое решение задачи:

1. Обозначим искомое число через $\text{(}d\text{)}$.
2. Если при делении чисел 848, 1420 и 2005 на одно и то же число $\text{(}d\text{)}$ получается одинаковый остаток, то можно записать эти отношения следующим образом: $\text{[}848\equiv r(\mathrm{mod}d)\text{]}$ $\text{[}1420\equiv r(\mathrm{mod}d)\text{]}$ $\text{[}2005\equiv r(\mathrm{mod}d)\text{]}$ где $\text{(}r\text{)}$ — это одинаковый остаток.
3. Из этого следует, что: $\text{[}848-r=k_1\cdot d\text{]}$ $\text{[}1420-r=k_2\cdot d\text{]}$ $\text{[}2005-r=k_3\cdot d\text{]}$ где $\text{(}{k}_1,k_2\text{)}$ и $\text{(}{k}_3\text{)}$ — целые числа.
4. Если вычесть первое уравнение из второго и третьего уравнений, получаем систему разностей: $\text{[}1420-848=(k_2-k_1)\cdot d\text{]}$ $\text{[}2005-1420=(k_3-k_2)\cdot d\text{]}$
5. Вычислим разности: $\text{[}1420-848=572\text{]}$ $\text{[}2005-1420=585\text{]}$
6. Теперь требуется найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 572 и 585. Используем алгоритм Евклида. $\text{[}\text{НОД}(585,572)=\text{НОД}(572,585\mathrm{mod}572)\text{]}$ $\text{[}585\mathrm{mod}572=13\text{]}$ $\text{[}\text{НОД}(572,13)=\text{НОД}(13,572\mathrm{mod}13)\text{]}$ $\text{[}572\mathrm{mod}13=0\text{]}$ $\text{[}\text{НОД}(13,0)=13\text{]}$ Следовательно, наибольший общий делитель (НОД) чисел 572 и 585 равен $\text{(}13\text{)}$.

Итак, искомое число, при делении на которое числа 848, 1420 и 2005 дают одинаковый остаток, равно $\text{(}d=13\text{)}$.