Найти число, при делении на которое чисел 848, 1420 и 2005 получается одинаковый остаток

Данный вопрос относится к математике, конкретно к разделу теории чисел, понятиям остатков и делимости.

Задание: Найти число, при делении на которое чисел 848, 1420 и 2005 получается одинаковый остаток. Рассмотрим пошаговое решение задачи:

1. Обозначим искомое число через \( d \).
2. Если при делении чисел 848, 1420 и 2005 на одно и то же число \( d \) получается одинаковый остаток, то можно записать эти отношения следующим образом: \[ 848 \equiv r \pmod{d} \] \[ 1420 \equiv r \pmod{d} \] \[ 2005 \equiv r \pmod{d} \] где \( r \) — это одинаковый остаток.
3. Из этого следует, что: \[ 848 - r = k_1 \cdot d \] \[ 1420 - r = k_2 \cdot d \] \[ 2005 - r = k_3 \cdot d \] где \( k_1, k_2 \) и \( k_3 \) — целые числа.
4. Если вычесть первое уравнение из второго и третьего уравнений, получаем систему разностей: \[ 1420 - 848 = (k_2 - k_1) \cdot d \] \[ 2005 - 1420 = (k_3 - k_2) \cdot d \]
5. Вычислим разности: \[ 1420 - 848 = 572 \] \[ 2005 - 1420 = 585 \]
6. Теперь требуется найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 572 и 585. Используем алгоритм Евклида. \[ \text{НОД}(585, 572) = \text{НОД}(572, 585 \mod 572) \] \[ 585 \mod 572 = 13 \] \[ \text{НОД}(572, 13) = \text{НОД}(13, 572 \mod 13) \] \[ 572 \mod 13 = 0 \] \[ \text{НОД}(13, 0) = 13 \] Следовательно, наибольший общий делитель (НОД) чисел 572 и 585 равен \( 13 \).

Итак, искомое число, при делении на которое числа 848, 1420 и 2005 дают одинаковый остаток, равно \( d = 13 \).