Найти частые производные первого и второго порядков функции z=x^3-4y^2-3x+4y-2

Определение предмета и раздела

Данное задание связано с математикой, а точнее, с разделом математического анализа, который изучает производные и их применения.

Формулировка задания

Найти частные производные первого и второго порядков функции \( z = x^3 - 4y^2 - 3x + 4y - 2 \).

Решение задачи

Найдем частные производные первого порядка

1. Частная производная по \( x \) (\( \frac{\partial z}{\partial x} \))

\( z = x^3 - 4y^2 - 3x + 4y - 2 \)

Рассмотрим все члены функции, в которых присутствует \( x \):

• Производная от \( x^3 \) равна \( 3x^2 \).
• Производная от \( -3x \) равна \( -3 \).
• Остальные члены не зависят от \( x \) и их производные равны нулю.

Таким образом, частная производная функции \( z \) по \( x \) равна:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 3 \]

2. Частная производная по \( y \) (\( \frac{\partial z}{\partial y} \))

Рассмотрим все члены функции, в которых присутствует \( y \):

• Производная от \( -4y^2 \) равна \( -8y \).
• Производная от \( 4y \) равна \( 4 \).
• Остальные члены не зависят от \( y \) и их производные равны нулю.

Таким образом, частная производная функции \( z \) по \( y \) равна:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -8y + 4 \]

Найдем частные производные второго порядка

Теперь найдем частные производные второго порядка для функции \( z \).

1. Частная производная второго порядка по \( x \) (\( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \))

Используем ранее найденную частную производную первого порядка по \( x \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 3 \]

Найдем производную этой функции по \( x \):

\[ \frac{\partial}{\partial x} (3x^2 - 3) = 6x \]

Таким образом, частная производная второго порядка функции \( z \) по \( x \) равна:

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x \]

2. Частная производная второго порядка по \( y \) (\( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \))

Используем ранее найденную частную производную первого порядка по \( y \):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -8y + 4 \]

Найдем производную этой функции по \( y \):

\[ \frac{\partial}{\partial y} (-8y + 4) = -8 \]

Таким образом, частная производная второго порядка функции \( z \) по \( y \) равна:

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -8 \]

3. Смешанная частная производная второго порядка (\( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \) и \( \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \))

Вычислим компонентную часть:

\( z = x^3 - 4y^2 - 3x + 4y - 2 \)

Найдем производные:

\[ \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 - 3) = 0 \]

и

\[ \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial x} (-8y + 4) = 0 \]

Таким образом, смешанные частные производные второго порядка функции \( z \) по \( x \) и \( y \) равны:

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 0 \]

Итак, частные производные функции \( z = x^3 - 4y^2 - 3x + 4y - 2 \) следующие:

• Первого порядка: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 3 \], \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -8y + 4 \]
• Второго порядка: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x \], \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -8 \], \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 0 \]

Надеюсь, это объяснение было полезным! Если остались вопросы или нужно что-то уточнить, пожалуйста, дай знать.