Основываясь на задании, можно определить, что это задача по математическому анализу, относящаяся к теме частных производных. Давайте найдем частные производные первого и второго порядков функции \( z = x^3 - 4y^2 - 3x + 4y - 2 \).
Частные производные первого порядка
Для нахождения частных производных первого порядка нужно дифференцировать функцию \( z \) по каждому из переменных \( x \) и \( y \). \[ z = x^3 - 4y^2 - 3x + 4y - 2 \]
Частная производная по \( x \):
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3 - 4y^2 - 3x + 4y - 2)
\]
Поскольку \( y \) является константой при дифференцировании по \( x \), производные всех членов, содержащих \( y \), будут равны нулю.
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3) - \frac{\partial}{\partial x} (4y^2) - \frac{\partial}{\partial x} (3x) + \frac{\partial}{\partial x} (4y) - \frac{\partial}{\partial x} (-2)
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 0 - 3 + 0 - 0
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 3
\]
Частная производная по \( y \):
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^3 - 4y^2 - 3x + 4y - 2)
\]
Поскольку \( x \) является константой при дифференцировании по \( y \), производные всех членов, содержащих \( x \), будут равны нулю.
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^3) - \frac{\partial}{\partial y} (4y^2) - \frac{\partial}{\partial y} (3x) + \frac{\partial}{\partial y} (4y) - \frac{\partial}{\partial y} (-2)
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = 0 - 8y + 0 + 4 - 0
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = -8y + 4
\]
Частные производные второго порядка
Вторые частные производные по \( x \):
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2 - 3)
\]
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x
\]
Вторые частные производные по \( y \):
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y} (-8y + 4)
\]
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -8
\]
Смешанные частные производные:
- Смешанная производная
\(\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}\):
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 - 3)
\]
\[
\frac{\partial^2 z}{постоянной \partial y \partial x} = 0
\]
- Смешанная производная
\(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\):
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial x} (-8y + 4)
\]
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0
\]
Итак, частные производные функции \( z \) составляют:
- \( \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 3 \)
- \( \frac{\partial z}{\partial y} = -8y + 4 \)
Вторые частные производные:
- \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x \)
- \( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -8 \)
- \( \frac{\p