Найти частные производные второго порядка

Предмет: Математический анализ

Раздел: Частные производные

Дана функция:
z = \arctg \frac{y}{x}

Необходимо найти частные производные второго порядка.

1. Найдём первые частные производные:

Частная производная по x:
Используем производную арктангенса:
\frac{d}{dx} \arctg u = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}

В нашем случае u = \frac{y}{x}, поэтому:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2} \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right)

Упростим:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2}

Частная производная по y:
Аналогично:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)

Упростим:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2}

2. Найдём вторые частные производные:

Вторая частная производная по x:
Дифференцируем \frac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-y}{x^2 + y^2} \right)

Используем правило производной дроби:
\frac{d}{dx} \left( \frac{A}{B} \right) = \frac{A'B - AB'}{B^2}

Здесь:

• A = -y, значит A' = 0
• B = x^2 + y^2, значит B' = 2x

Подставляем:
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{0 \cdot (x^2 + y^2) - (-y) \cdot 2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}

Смешанная частная производная \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}:
Дифференцируем \frac{\partial z}{\partial x} по y:
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{-y}{x^2 + y^2} \right)

Используем правило производной дроби:

• A = -y, значит A' = -1
• B = x^2 + y^2, значит B' = 2y

Подставляем:
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{-1 \cdot (x^2 + y^2) - (-y) \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2}

Упрощаем:
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{- (x^2 + y^2) + 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)^2}

Вторая частная производная по y:
Дифференцируем \frac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{x^2 + y^2} \right)

Используем правило производной дроби:

• A = x, значит A' = 0
• B = x^2 + y^2, значит B' = 2y

Подставляем:
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{0 \cdot (x^2 + y^2) - x \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}

Ответ:

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{-x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)^2}
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}