Найти частные производные по переменным

Это задание относится к предмету "математика", раздел "математический анализ" или "теория функций многих переменных".

Давайте найдем частные производные функции $\text{(}F\text{)}$ по переменным $\text{(}A\text{)}$, $\text{(}B\text{)}$ и $\text{(}C\text{)}$. Функция задана как: $\text{[}F=\sqrt{B}\cdot A\cdot \sqrt{B^2+C^2}\text{]}$

1. Частная производная по $\text{(}A\text{)}$: Функция является линейной по переменной $\text{(}A\text{)}$, поэтому частная производная по $\text{(}A\text{)}$ будет равна производной произведения функции на $\text{(}A\text{)}$: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }A}=\sqrt{B}\cdot \sqrt{B^2+C^2}\text{]}$
2. Частная производная по $\text{(}B\text{)}$: Функция $\text{(}F\text{)}$ содержит два выражения с $\text{(}B\text{)}$, поэтому для нахождения частной производной по $\text{(}B\text{)}$ применим правило произведения. Пусть: $\text{[}u=\sqrt{B}\text{]}$ $\text{[}v=A\text{]}$ $\text{[}w=\sqrt{B^2+C^2}\text{]}$ Тогда: $\text{[}F=u\cdot v\cdot w\text{]}$ Частная производная будет: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }B}=v\cdot w\cdot \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }B}+u\cdot v\cdot \frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }B}\text{]}$ Рассчитаем производные: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }B}=\frac{1}{2\sqrt{B}}\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }B}=\frac{2B}{2\sqrt{B^2+C^2}}=\frac{B}{\sqrt{B^2+C^2}}\text{]}$ Подставим эти значения: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }B}=A\cdot \sqrt{B^2+C^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{B}}+\sqrt{B}\cdot A\cdot \frac{B}{\sqrt{B^2+C^2}}\text{]}$ Упростим выражение: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }B}=\frac{A\cdot \sqrt{B^2+C^2}}{2\sqrt{B}}+\frac{A\cdot B\cdot \sqrt{B}}{\sqrt{B^2+C^2}}\text{]}$
3. Частная производная по $\text{(}C\text{)}$: Для нахождения частной производной по $\text{(}C\text{)}$ рассмотрим только то выражение, где появляется $\text{(}C\text{)}$: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }C}=\sqrt{B}\cdot A\cdot \frac{\mathrm{\partial }\sqrt{B2+C^2}}{\mathrm{\partial }C}\text{]}$ Рассчитаем производную: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }\sqrt{B^2+C^2}}{\mathrm{\partial }C}=\frac{C}{\sqrt{B^2+C^2}}\text{]}$ Подставим это значение: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }C}=\sqrt{B}\cdot A\cdot \frac{C}{\sqrt{B^2+C^2}}\text{]}$ Упростим выражение: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }C}=\frac{A\cdot \sqrt{B}\cdot C}{\sqrt{B^2+C^2}}\text{]}$

Таким образом, нашли частные производные функции $\text{(}F\text{)}$ по переменным $\text{(}A\text{)}$, $\text{(}B\text{)}$ и $\text{(}C\text{)}$: