Найти частные производные по переменным

Это задание относится к предмету "математика", раздел "математический анализ" или "теория функций многих переменных".

Давайте найдем частные производные функции \(F\) по переменным \(A\), \(B\) и \(C\). Функция задана как: \[ F = \sqrt{B} \cdot A \cdot \sqrt{B^2 + C^2} \]

1. Частная производная по \(A\): Функция является линейной по переменной \(A\), поэтому частная производная по \(A\) будет равна производной произведения функции на \(A\): \[ \frac{\partial F}{\partial A} = \sqrt{B} \cdot \sqrt{B^2 + C^2} \]
2. Частная производная по \(B\): Функция \(F\) содержит два выражения с \(B\), поэтому для нахождения частной производной по \(B\) применим правило произведения. Пусть: \[ u = \sqrt{B} \] \[ v = A \] \[ w = \sqrt{B^2 + C^2} \] Тогда: \[ F = u \cdot v \cdot w \] Частная производная будет: \[ \frac{\partial F}{\partial B} = v \cdot w \cdot \frac{\partial u}{\partial B} + u \cdot v \cdot \frac{\partial w}{\partial B} \] Рассчитаем производные: \[ \frac{\partial u}{\partial B} = \frac{1}{2\sqrt{B}} \] \[ \frac{\partial w}{\partial B} = \frac{2B}{2\sqrt{B^2 + C^2}} = \frac{B}{\sqrt{B^2 + C^2}} \] Подставим эти значения: \[ \frac{\partial F}{\partial B} = A \cdot \sqrt{B^2 + C^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{B}} + \sqrt{B} \cdot A \cdot \frac{B}{\sqrt{B^2 + C^2}} \] Упростим выражение: \[ \frac{\partial F}{\partial B} = \frac{A \cdot \sqrt{B^2 + C^2}}{2\sqrt{B}} + \frac{A \cdot B \cdot \sqrt{B}}{\sqrt{B^2 + C^2}} \]
3. Частная производная по \(C\): Для нахождения частной производной по \(C\) рассмотрим только то выражение, где появляется \(C\): \[ \frac{\partial F}{\partial C} = \sqrt{B} \cdot A \cdot \frac{\partial \sqrt{B2 + C^2}}{\partial C} \] Рассчитаем производную: \[ \frac{\partial \sqrt{B^2 + C^2}}{\partial C} = \frac{C}{\sqrt{B^2 + C^2}} \] Подставим это значение: \[ \frac{\partial F}{\partial C} = \sqrt{B} \cdot A \cdot \frac{C}{\sqrt{B^2 + C^2}} \] Упростим выражение: \[ \frac{\partial F}{\partial C} = \frac{A \cdot \sqrt{B} \cdot C}{\sqrt{B^2 + C^2}} \]

Таким образом, нашли частные производные функции \(F\) по переменным \(A\), \(B\) и \(C\):