Найти частные производные первого порядка в точке M(3;2)

Задание связано с математическим анализом, предметом "Математика", а конкретно разделом "Дифференцирование функций нескольких переменных". Функция дана в виде: \[ z = 3 \sqrt{2y^2 - x^2} \] Для решения задачи нам нужно найти частные производные первого порядка функции \( z \) по переменным \( x \) и \( y \), а затем вычислить их значения в точке \( M(3, 2) \).

1. Находим частную производную функции по переменной \( x \)

Функция имеет вид: \[ z = 3 (2y^2 - x^2)^{1/2} \] Частная производная по \( x \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3 \cdot \frac{d}{dx} \left( (2y^2 - x^2)^{1/2} \right) \]

Для нахождения производной внутренней функции используем цепное правило:

\[ \frac{d}{dx} \left( (2y^2 - x^2)^{1/2} \right) = \frac{1}{2} (2y^2 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) \]

Преобразуем:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3 \cdot \frac{1}{2} (2y^2 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -3x (2y^2 - x^2)^{-1/2} \]

Подставляем значения точки \( M(3, 2) \):

\( x = 3, \quad y = 2 \)

\( 2y^2 = 2 \cdot (2^2) = 8 \)

\( 2y^2 - x^2 = 8 - 9 = -1 \)

Таким образом:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(x=3, y=2)} = -3 \cdot 3 \cdot (-1)^{-1/2} \]

Заметим, что значение под корнем отрицательное, поэтому функция не определена в данной точке для частной производной по \( x \).

2. Находим частную производную функции по переменной \( y \)

Частная производная по \( y \):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3 \cdot \frac{d}{dy} \left( (2y^2 - x^2)^{1/2} \right) \]

Для нахождения производной внутренней функции используем цепное правило:

\[ \frac{d}{dy} \left( (2y^2 - x^2)^{1/2} \right) = \frac{1/2} (2y^2 - x^2)^{-1/2} \cdot 4y \]

Преобразуем:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3 \cdot 2y \cdot (2y^2 - x^2)^{-1/2} \]

Подставляем значения точки \( M(3, 2) \):

\( x = 3, \quad y = 2 \)

\( 2y^2 = 2 \cdot (2^2) = 8 \)

\( 2y^2 - x^2 = 8 - 9 = -1 \)

Таким образом:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(x=3, y=2)} = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (-1)^{-1/2} \]

Здесь также значение под корнем отрицательное, поэтому функция не определена в данной точке для частной производной по \( y \).

Заключение

Функция \( z = 3 \sqrt{2y^2 - x^2} \) не определена в точке \( M(3, 2) \) для взятия первых частных производных по переменным \( x \) и \( y \), так как выражение внутри корня принимает отрицательное значение.