Найти частные производные первого порядка функций

Данное задание по предмету "Математика", а именно по его разделу "Дифференциальное исчисление" (частные производные).

Функция \( z = \tan^3{(2x - 3y)} \). Найдем частные производные первого порядка этой функции по переменным \( x \) и \( y \) в точке \( C\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) \).

Частная производная по \( x \)

1. Заменим переменную \( u = 2x - 3y \). Тогда \( z = \tan^3(u) \).
2. Используем формулу для производной сложной функции: \( \frac{\partial z}{\partial x} = 3 \tan^2(u) \cdot \frac{d(\tan(u))}{du} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \).
3. Знаем, что \( \frac{d(\tan(u))}{du} = \sec^2(u) \) и \( \frac{\partial u}{\partial x} = 2 \). Тогда \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3 \tan^2(u) \cdot \sec^2(u) \cdot 2. \]
4. Подставим \( u = 2x - 3y \) и считаем в точке \( C\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) \), где \( u = 2 \cdot \frac{\pi}{6} - 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} \).
5. Тогда \[ \tan(-\frac{\pi}{6}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \] и \[ \sec(-\frac{\pi}{6}) = \sec(\frac{\pi}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \implies \sec^2(-\frac{\pi}{6}) = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}. \]
6. Теперь подставим всё в выражение для производной: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3 \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \frac{4}{3} \cdot 2 = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{8}{3}. \]

Частная производная по \( y \)

1. Заменим переменную \( u = 2x - 3y \). Тогда \( z = \tan^3(u) \).
2. Используем формулу для производной сложной функции: \( \frac{\partial z}{\partial y} = 3 \tan^2(u) \cdot \frac{d(\tan(u))}{du} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} \).
3. Знаем, что \( \frac{d(\tan(u))}{du} = \sec^2(u) \) и \( \frac{\partial u}{\partial y} = -3 \). Тогда \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3 \tan^2(u) \cdot \sec^2(u) \cdot (-3). \]
4. Подставим \( u = 2x - 3y \) и считаем в точке \( C\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) \), где \( u = -\frac{\pi}{6} \), как нашли ранее.
5. Подставим значения: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3 \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \frac{4}{3} \cdot (-3) = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot (-3) = \frac{4}{3} \cdot (-3) = -4. \]

Итак, частные производные первого порядка функции \( z = \tan^3{(2x - 3y)} \) в точке \( C\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} \Bigg|_{ \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) } = \frac{8}{3} \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} \Bigg|_{ \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) } = -4 \]